불확실성 포함 최대플러스 선형 시스템의 역방향 도달 가능 집합 계산

본 논문은 최대플러스 대수(max‑plus algebra) 위에 정의되는 이산‑시간 시스템에 교란이 포함된 상황에서, 목표 집합으로부터 역방향으로 도달 가능한 초기 상태 집합을 효율적으로 계산하는 새로운 방법론을 제시한다. 연구 동기는 기존의 불확실성을 다루는 접근법이 확률적 모델링이나 구간 기반(max‑plus interval) 모델링에 의존하지만, 차원 증가와 복잡한 교란 구조에 대해 계산 복잡도가 급격히 상승한다는 점이다. 이를 해결하고자 저자들은 열대다각형(tropical polyhedron)이라는 기하학적 구조를 활용한다. 열대다각형은 열대반평면(tropical half‑space)의 교집합으로 정의되며, 외부 표현(outer representation, M‑form)과 내부 생성 벡터(inner generators, V‑form) 두 가지 등가적 표현을 갖는다. 논문은 먼저 최대플러스 선형 시스템(MPLS) 모델을 소개한다. 상태 방정식은 xₖ = A⊗xₖ₋₁ ⊕ B⊗uₖ ⊕ C⊗wₖ 로, 여기서 A, B, C는 max‑plus 행렬, uₖ는 제어 입력, wₖ는 교란이며 각각 U, W 집합에 속한다. 목표 집합 E가 주어졌을 때, 일단계 역도달 가능 집합 Υ(E)는 “∃u∈U, ∀w∈W, A⊗x ⊕ B⊗u ⊕ C⊗w ∈ E” 를 만족하는 모든 x의 집합으로 정의된다. 핵심 기여는 이 연산자를 세 개의 기본 연산자 A⁻¹, γ_U, ϕ_W 로 분해하고, 각각이 열대다각형 구조를 보존함을 증명한 것이다. 1. **역행렬 연산 A⁻¹** A⁻¹(E) = {x | A⊗x ∈ E}. 저자는 E를 열대다각형 ⟨C, D⟩∩ℝⁿₘₐₓ 형태로 가정하고, A와 E의 외부 행렬을 결합해 새로운 열대다각형의 외부 표현을 구성한다. 구체적으로, A와 E의 생성 벡터를 결합한 행렬 M_A,M₁, M_A,M₂ 를 정의하고, 이들 사이의 동등식 M_A,M₁⊗z = M_A,M₂⊗z 를 만족하는 z 집합을 구한 뒤, 첫 n 좌표를 투영(pₙ)함으로써 A⁻¹(E)를 얻는다. 이 과정에서 열대콘의 투영이 여전히 열대콘임을 보이는 Lemma 2를 활용한다. 결과적으로 A⁻¹(E)는 다시 열대다각형이 된다. 2. **제어 존재 연산 γ_U** γ_U(E) = {x | ∃u∈U, x⊕B⊗u ∈ E}. 여기서 U 역시 열대다각형으로 가정한다. 저자는 U의 생성 행렬 R과 목표 집합 E의 외부 행렬을 결합해 M_A,R,M₁, M_A,R,M₂ 를 만든다. 이후 동일한 동등식 M_A,R,M₁⊗t = M_A,R,M₂⊗t 를 만족하는 t = (0, x, y, z) 를 찾고, 첫 n 좌표를 투영함으로써 γ_U(E)를 얻는다. 이 역시 열대다각형 구조를 보존한다는 Corollary 2가 제시된다. 3. **교란 전역 연산 ϕ_W** ϕ_W(E) = {x | ∀w∈W, x⊕C⊗w ∈ E}. 이 연산은 ∀ quantifier 때문에 가장 복잡하다. 저자는 교란 집합 W를 “재발(cone) + 유계 다각형(bounded polyhedron)” 형태인 W = R ⊕ P 로 분해한다. 재발 부분 R은 열대콘이므로, 전역 연산은 단순히 콘에 대한 포함 관계로 변환된다. 반면 유계 부분 P는 제한된 교란을 의미하므로, 모든 w∈P에 대해 x⊕C⊗w ∈ E 를 만족시키는 조건을 열대반평면의 교집합 형태로 전환한다. 이를 통해 ϕ_W(E) 역시 열대다각형이 되며, 내부 생성 벡터를 구하기 위한 구체적인 알고리즘이 제시된다. 논문은 위 세 연산을 순차적으로 적용해 Υ(E) = A⁻¹ ∘ γ_U ∘ ϕ_W (E) 를 계산하는 전체 절차를 제시한다. 각 단계마다 외부 행렬을 업데이트하고, 필요 시 투영 연산을 수행한다. 복잡도 분석에서는 기존 DBM 기반 방법이 교란 차원과 시스템 차원에 대해 지수적 복잡도를 갖는 반면, 제안된 열대다각형 기반 방법은 생성 벡터 수와 행렬 차원에 비례하는 다항식 시간 안에 계산이 가능함을 보인다. 실험 섹션에서는 제조 스케줄링, 교통 흐름 제어, 생산 라인 동기화 등 실제 사례를 통해 방법의 적용 가능성을 검증한다. 목표 집합을 안전 영역으로 설정하고, 제어 입력을 제한된 범위로 두었으며, 교란을 일정 범위의 지연으로 모델링한다. 결과는 기존 방법에 비해 계산 시간이 크게 감소하고, 얻어진 역도달 가능 집합이 실제 시스템의 안전성을 보장함을 확인한다. 결론적으로, 본 연구는 최대플러스 시스템에서 교란을 포함한 안전 검증 및 제어 설계 문제를 열대다각형이라는 강력한 기하학적 도구를 통해 해결한다. 연산자의 구조적 보존성을 정리와 알고리즘으로 명확히 제시함으로써, 향후 고차원·고복잡도 시스템에서도 실시간 혹은 준실시간 안전 분석이 가능하도록 하는 기반을 제공한다.