베르거 렌즈 공간의 절단극점과 지름 연구

본 논문은 3차원 렌즈 공간 L(p; q) 위에 정의된 축대칭 베르거 계량의 절단극점(Cut locus)과 지름(diameter)을 체계적으로 연구한다. 먼저, 렌즈 공간은 S³를 Zₚ의 자유 작용으로 나눈 비동질적 다양체이며, p와 q가 서로소인 정수쌍으로 정의된다. 논문은 SU(2)≅S³에 좌·우 U(1) 대칭을 가진 축대칭 리만 계량 g를 도입한다. 이 계량은 기저 e₁,e₂,e₃에 대해 g(u)=I₁(u₁²+u₂²)+I₃u₃² 형태이며, η=I₁/I₃−1>0 로 매개변수화한다. η→−1(즉 I₃→∞)이면 수직 방향이 무게가 무한히 커져, 수평 분포 span{e₁,e₂}만이 유효해지는 축대칭 서브리만 구조가 된다. Zₚ 작용이 등거리이므로, 위의 계량은 자연스럽게 렌즈 공간 L(p; q)으로 내려가며, 이를 베르거 렌즈 공간이라고 명명한다. 다음으로, Hamiltonian 접근법을 사용해 geodesic 흐름을 기술한다. cotangent bundle T*SU(2) 위의 Hamiltonian은 H=½