제어 전후 일관성 지표로 보는 Koopman 제어 모델 정확도

** 본 논문은 Koopman 연산자를 입력이 없는 비선형 시스템에 적용하는 기존 연구들을 확장하여, 입력이 존재하는 일반적인 이산시간 제어 시스템에 대한 정확도 평가 지표를 제시한다. 먼저, 시스템 \(x_{k+1}=T(x_k,u_k)\) 에 대해 입력 \(u\) 를 고정한 일련의 무입력 시스템 \(\{x_{k+1}=T_{u^*}(x_k)\}_{u^*\in U}\) 을 정의하고, 각각에 대해 전통적인 Koopman 연산자 \(K_{u^*}\) 를 부여한다. 이 집합을 **Koopman Control Family (KCF)** 라 부르며, 모든 \(u^*\) 에 대해 동일한 함수 공간 \(F\) 위에서 작용한다. KCF를 실용적으로 활용하기 위해, 증강 상태 \((x,u)\) 위에 정의된 무입력 시스템 \(T_{\text{aug}}(x,u)=(T(x,u),u)\) 을 도입한다. 이 시스템에 대한 Koopman 연산자 \(K_{\text{aug}}\) 는 모든 고정 입력 시스템을 하나의 연산자로 통합한다. 함수 공간 \(F_{\text{aug}}\) 가 \(F\) 와 적절히 연결될 때, \(K_{\text{aug}}\) 는 각 \(K_{u^*}\) 를 \(K_{\text{aug}}\) 의 제한으로 재현한다. 다음으로, 유한 차원 근사 모델을 구성한다. 함수 집합 \(H:\mathcal X\to\mathbb C^{n_H}\) 가 KCF의 공통 불변 부분공간을 형성하도록 선택하면, \