시간변환 전방‑후방 확률제어와 Lévy 잡음에 대한 최적성 원리
본 논문은 α‑안정 서브오디네이터의 역과정을 이용한 랜덤 시간 변환을 적용한 전방‑후방 확률미분방정식(FBSDE) 시스템에 Lévy 잡음이 포함된 경우의 최적 제어 문제에 대해, 이중성 변환과 볼록 변분법을 활용한 필요·충분 최적성 조건을 제시한다. 새로운 여격 방정식(Adjoint) 체계를 도출하고, 이를 현금 관리와 재귀 효용 모델에 적용한다.
저자: Jingwei Chen, Jun Ye, Feng Chen
1. **연구 배경 및 동기**
- 전통적인 확률제어는 표준 시간 흐름과 연속적인 Brownian 움직임을 전제로 한다. 그러나 실제 시스템에서는 거래 정지, 정보 지연, 입자 트래핑 등으로 인해 ‘효과적 시간’이 비선형적으로 변한다. 또한 급격한 외부 충격을 모델링하기 위해 Lévy 점프가 필요하다. 이러한 두 요소를 동시에 고려한 제어 이론은 아직 충분히 개발되지 않았다.
2. **수학적 모델링**
- α‑stable 서브오디네이터 Dₜ(0<α<1)를 정의하고, 그 역과정 Eₜ=inf{u:Dᵤ>t}를 랜덤 시간 변환으로 채택한다. Eₜ는 비감소이며, Dₜ의 점프는 대기시간을 의미한다.
- 시간‑변환 전방‑후방 시스템(TCFBSDEwLN)은 다음과 같다.
- 전방: dXₜ = f(t,Eₜ,Xₜ,vₜ)dEₜ + σ(t,Eₜ,Xₜ,vₜ)dB_{Eₜ} + ∫_{|z|
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