홀수 사이클과 일반화된 라므시 수의 선형 상한

1. 서론에서는 라므시 수 r(H, G)의 정의와 Erdős·Faudree·Rousseau·Schelp이 제시한 “Ramsey size linear” 개념을 소개한다. 특히, 그래프 H가 “Ramsey size linear”라면 모든 무고립 정점 그래프 G에 대해 r(H, G) ≤ C·|E(G)| 형태의 선형 상한이 존재한다는 점을 강조한다. 기존 연구에서는 H가 트리, 작은 클리크, 혹은 짝수 사이클 C₂k에 대해 선형 상한이 알려졌지만, 홀수 사이클 C₂k₊₁에 대해서는 아직 상수 cₖ가 존재하는지조차 미확인 상태였다. 2. 주요 결과는 네 가지 정리로 구성된다. - **Theorem 2**: 모든 k≥2와 무고립 정점 그래프 G(p, m) 에 대해 r(C₂k₊₁, G) ≤ 2m + p + Bₖ·m^{1‑1/20}. 여기서 Bₖ는 충분히 큰 상수이며, m이 충분히 크면 (2 + o(1))·m + p 로 간단히 표현된다. 이는 기존에 알려지지 않았던 상수 2에 근접한 최적 상한을 제공한다. - **Theorem 3**: 모든 r≥3에 대해 r(Kᵣ, G) ≤ cᵣ·m^{(r‑1)/2} (cᵣ=2ʳ‑1). 이는 Sidorenko가 증명한 r(K₃, G) ≤ 2m+1을 r≥3 로 일반화한 결과이며, 차수가 높아질수록 m에 대한 거듭제곱 형태가 등장한다. - **Theorem 4**: 다색 라므시 수에 대해 r_{k+1}(K₃; G) ≤ c_k·m^{(k+1)/2} (c_k=3·2^{k‑1}·k!). 이는 색깔이 k+1개인 경우에도 G의 크기에 대한 거듭제곱 상한을 확보한다. - **Lemma 1**: 경로 P_ℓ와 G 사이의 라므시 수를 r(P_ℓ, G) ≤ (1+1/β)·p + (β+1)·2ℓ·√m 로 제한한다. 여기서 β≥3은 자유 변수이며, 증명에 사용되는 핵심 도구는 Erdős–Gallai 정리와 이중 카운팅 기법이다. 3. 증명 개요는 다음과 같다. - **Lemma 1**은 먼저 적색 차수가 큰 정점 집합 L을 정의하고, L을 제외한 서브그래프 H에서 청색 복사가 존재함을 보인다. 이를 위해 정점들을 차수 순으로 나열하고, 청색 복사가 불가능한 경우 적색-청색 경계에서 모순을 도출한다. - **Theorem 2**는 두 경우로 나뉜다. (i) m이 충분히 크면 기존의 r(C_t, K_p) 상한(Theorem 7)을 이용해 바로 원하는 상한을 얻는다. (ii) m이 작을 경우, 최소 차수 정점 v를 제거해 G′에 대해 귀납 가정을 적용하고, 남은 정점 집합 X와 이웃 집합 Y 사이의 적색 연결을 분석한다. Claim 1을 통해 |R(u)| < r(P_{2k}, G) 를 보이고, Lemma 1을 적용해 최종 모순을 얻는다. - **Theorem 3**와 **Theorem 4**는 구조적으로 Theorem 2와 동일한 프레임워크를 사용한다. 각각 Kᵣ와 다색 상황에 맞게 “빨간 K₃” 혹은 “색 i의 K₃”가 형성되는 것을 방지하기 위해 |R(u)| 혹은 |W_i(u)| 를 적절히 제한한다. 최소 차수 정점 v의 이웃 수 |Y| ≤ √(2m) 를 이용해 최종적인 상한을 도출한다. 4. 논의 및 향후 과제에서는 Erdős·Faudree·Rousseau·Schelp이 제시한 더 일반적인 질문, 즉 모든 사이클 C_k에 대해 r(C_k, G) ≤ 2m + ⌊(k‑1)/2⌋ 가 가능한지와 K_{3,3}의 Ramsey size linear 여부를 제시한다. 현재 본 논문은 홀수 사이클에 대한 첫 번째 비자명한 상한을 제공함으로써, 이러한 열린 문제들에 대한 연구 방향을 제시한다. 5. 결론적으로, 이 연구는 (i) 홀수 사이클과 임의 그래프 사이의 라므시 수에 대한 선형 상한을 (2 + o(1))·m + p 로 확립하고, (ii) 클리크와 다색 상황에 대해 차수에 따른 거듭제곱 형태의 일반화된 상한을 제시함으로써, Ramsey size linear 이론에 새로운 장을 열었다. 또한 증명 기법으로 사용된 경로‑라므시 보조정리와 이중 귀납 전략은 향후 다른 그래프 패밀리에도 적용 가능할 것으로 기대된다.