노이즈 데이터로부터 계층적 제어까지: 직접 데이터 기반 차원 축소 프레임워크

**1. 서론 및 연구 배경** 고차원 선형 시스템의 분석·제어는 계산 복잡도와 실시간 구현의 어려움 때문에 차원 축소(MOR)가 필수적이다. 전통적인 MOR은 모델 기반으로, 시스템 행렬 A와 B를 먼저 식별한 뒤 절단, Krylov, 균형 절단 등으로 저차원 모델을 만든다. 그러나 실제 시스템에서는 프로세스 교란이나 불확실성으로 인해 정확한 모델 식별이 어려워 ‘직접 데이터 기반’ 접근이 주목받고 있다. 기존 연구는 주로 안정성·입출력 매칭에 초점을 맞추었으며, 원 시스템과 ROM에 동일 입력을 적용해야 하는 제약이 있었다. **2. 문제 정의** 본 논문은 다음과 같은 문제를 다룬다. (i) 시스템 행렬 A, B가 전혀 알려지지 않은 이산시간 선형 시스템 Σ: x(k+1)=Ax(k)+Bν(k)+ϖ(k), y(k)=x(k) 를 대상으로, (ii) 단일 실험으로 수집된 잡음이 섞인 입력‑상태 데이터 (X,U,X⁺,W)를 이용해 (iii) 저차원 ROM ˆΣ와 (iv) 시뮬레이션 함수(SF) 및 (v) 인터페이스 함수 u=gₖ(x,ˆx,ˆu)를 동시에 설계한다. 목표는 ROM에서 설계한 제어기 ˆν를 원 시스템에 적용할 때, 출력 궤적 차이가 정량적 상한 이하가 되도록 보장하는 것이다. **3. 시뮬레이션 함수와 오류 보증** 시뮬레이션 함수 S: X׈X→ℝ₊는 정의 2.3에 따라 두 시스템 사이의 ‘시뮬레이션 관계’를 형성한다. 조건 (3a)는 초기 상태 차이가 S에 의해 하한이 있음을 보장하고, (3b)는 단계별 업데이트 시 S가 감쇠(κ<1)하면서 입력 ˆu와 잡음에 의해 발생하는 추가 비용(ρ|ˆu|²+ψ)을 포함한다. Theorem 2.4는 이러한 조건을 만족하면 모든 k에 대해 |y(k)−ˆy(k)| ≤ (1/α)S(x₀,ˆx₀)+ (ρ/α(1−κ))‖ˆν‖∞² + ψ/(α(1−κ)) 라는 명시적 오류 상한을 제공한다. 여기서 ψ는 프로세스 교란에 의해 발생하는 보수 항이며, ψ가 작을수록 더 긴밀한 보증을 얻는다. **4. 데이터 수집 및 가정** 실험 구간