평균 회귀형 비균질 기하 브라운 운동을 이용한 확률 SIS 모델의 동역학

본 논문은 전염병 역학에서 널리 사용되는 SIS 모델에 확률적 변동을 도입하면서, 특히 전염률 χ가 양의 실수값을 유지하도록 설계된 새로운 확률 과정인 평균 회귀형 비균질 기하 브라운 운동(IGBM)을 적용한다. 서론에서는 기존의 확률 SIS 모델이 Ornstein‑Uhlenbeck(O-U) 과정을 사용해 전염률을 변동시키는 경우, χ가 음수로 전이될 위험이 있어 실제 감염 메커니즘을 제대로 반영하지 못한다는 점을 지적한다. 이를 해결하기 위해 χ를 IGBM으로 모델링함으로써, χ가 항상 양의 영역에 머무르면서 평균값 \(\barχ\) 로 회귀하는 특성을 확보한다. 수식 (2)에서는 IGBM을 포함한 전체 시스템을 제시한다. S와 I는 각각 감수성 및 감염 인구를 나타내며, g(I)라는 비선형 감염 함수는 g(0)=0, g'(I)>0, 그리고 \(-p\le (g(I)I)'\le0\)이라는 일반적인 조건을 만족한다. χ의 동역학은 \(dχ(t)=r(\barχ-χ(t))dt+σχ(t)dB(t)\) 로, r>0, σ>0, B(t)는 표준 브라운 운동이다. 제2절에서는 전역 양해 존재와 유일성을 다룬다. 저자는 C² Lyapunov 함수 Ψ(S,I,χ)=\(