쿠프만 기반 선형 MPC와 이산시간 제어 배리어 함수의 통합

초록

본 논문은 비선형 이산시간 시스템의 안전성을 보장하면서 실시간 제어가 가능한 선형 모델 예측 제어(MPC) 프레임워크를 제안한다. 시스템과 제어 배리어 함수를 동시에 고차원으로 리프트한 뒤, 쿠프만 연산자를 이용해 선형 예측 모델을 학습한다. 이렇게 얻은 선형 모델에 완화 슬랙 변수를 도입한 DCBF 제약을 포함시키면, 원래의 비선형 안전제약이 이차 계획법(QP) 형태로 변환되어 계산 효율성이 크게 향상된다. 시뮬레이션 결과는 제안 방법이 기존 NMPC‑DCBF 대비 연산 시간을 크게 줄이며 안전한 궤적을 생성함을 보여준다.

상세 분석

이 논문은 세 가지 핵심 아이디어를 결합한다. 첫째, 기존 이산시간 제어 배리어 함수(DCBF)를 시스템 상태에 포함시켜 “DCBF‑augmented” 동역학을 정의한다. 이는 안전 제약을 별도의 비선형 부등식이 아니라 상태 변수 하나로 전환함으로써, 이후 리프트 단계에서 동일하게 다룰 수 있게 만든다. 둘째, 쿠프만 연산자를 활용해 이 augmented 시스템을 고차원 관측 공간으로 리프트한다. 관측 함수 ψ(·)는 다항식, 라디얼베이시스 등 풍부한 비선형 기저를 포함하도록 설계되며, 데이터‑드리븐 EDMD 절차를 통해 선형 근사 행렬 A와 입력 매트릭스 B를 최소제곱법으로 식별한다. 정규화 파라미터 λ을 도입한 리지 정규화는 데이터 행렬의 병렬조건을 완화하고 과적합을 방지한다. 셋째, 식별된 선형 모델을 기반으로 MPC를 구성하면서 DCBF 제약을 선형 형태로 변환한다. 구체적으로, h(x)값은 리프트된 상태 ψ_t의 마지막 성분으로 표현되며, 이를 eᵀCψ_t 형태의 선형식으로 나타낸다. 안전 제약식 h(x_{t+1}) ≥ (1‑γ)h(x_t)‑ω_t는 선형 부등식에 슬랙 변수 ω_t≥0를 추가함으로써 완화한다. 이때 슬랙 변수에 대한 비용을 목적함수에 가중치 β·ω_t² 형태로 포함시켜, 안전 위반을 최소화하면서도 제약 위반 가능성을 허용해 문제의 실현 가능성을 크게 높인다.

이러한 설계는 기존 NMPC‑DCBF가 비선형 및 비볼록 제약으로 인해 비선형 프로그램(NLP)으로 귀결되는 문제를 회피한다. 선형화와 반복 선형화에 의존하는 기존 방법은 수렴 보장이 약하고, 긴 예측 호라이즌에서는 연산 복잡도가 급격히 증가한다. 반면, 쿠프만 기반 선형 모델은 예측 호라이즌 길이에 관계없이 동일한 차원의 선형 시스템을 사용하므로, QP의 시간 복잡도 O(n³)와 일정한 실행 시간을 유지한다. 또한, 관측 함수가 충분히 풍부하면 원래 비선형 시스템을 거의 정확히 재현할 수 있어, 안전성 보장을 위한 이론적 근거(DCBF 정의와 정리)와 실용적인 계산 효율성을 동시에 만족한다.

실험에서는 2차 비선형 로봇 동역학을 대상으로, 목표 위치로 이동하면서 장애물 회피라는 안전 제약을 적용하였다. 제안된 Koopman‑MPC‑DCBF는 평균 계산 시간이 2~3 ms 수준으로, 실시간 제어에 충분히 빠른 반면, NMPC‑DCBF는 30 ms 이상으로 실시간 적용에 제한이 있었다. 또한, 슬랙 변수의 사용으로 초기 조건이 안전 영역 밖에 있더라도 빠르게 안전 영역으로 복귀할 수 있었으며, 제어 입력 제한도 만족하였다.

요약하면, 이 논문은 (1) DCBF를 상태에 포함한 augmented 시스템 정의, (2) 쿠프만 연산자를 통한 선형 리프트 및 데이터‑드리븐 모델 식별, (3) 슬랙 변수를 이용한 안전 제약 완화와 QP 기반 MPC 통합이라는 세 단계로, 비선형 안전‑제어 문제를 효율적인 선형 최적화 문제로 변환한다. 이 접근법은 안전성 이론과 데이터‑기반 모델링을 결합함으로써, 복잡한 비선형 시스템에서도 실시간, 안전‑보장 제어를 가능하게 한다.