극한 시간 폭발과 안정성을 갖는 1플러스2 차원 Boussinesq 파생 시스템

** 본 논문은 2차원 무점성 Boussinesq 방정식의 구조적 복잡성을 최소화하면서도 핵심적인 소용돌이 스트레칭 메커니즘을 보존하는 (E1)이라는 (1+2) 차원 폐쇄 하위 시스템을 체계적으로 구축한다. 첫 단계에서는 기존의 속도‑압력 형태를 Hou‑Li 유형 변수 (u, v, g) 로 변환한다. 이 변환은 u₂와 u₃ 를 각각 ρ와 z 로 나누어 정의함으로써, 소용돌이 ω=∇×u 와 동일 차원의 스칼라 변수 세트를 만든다. 변환 후 방정식은  Dₜ u = ½ u v, Dₜ v = v²−u²+ρ⁻¹p_ρ, Dₜ g = −g²−z⁻¹p_z, z ∂_z g−ρ ∂_ρ v+g−v=0 이라는 형태를 갖는다. 여기서 Dₜ = ∂ₜ−ρv∂_ρ+zg∂_z 로 정의된다. 다음으로, 극좌표 (x, θ) 로 전환하고, 파라미터 λ와 µ 를 적절히 선택(λ=3/2, µ=√(5/3))함으로써 방정식의 계수를 정규화한다. 이 과정에서 (E1) 은 5개의 종속 변수 (¯u, ¯v, ¯g, ¯p, ¯ψ) 로 구성된 시스템이 된다. 특히, ¯ψ 는 스트림 함수 역할을 하며, ¯v와 ¯g 를 각각 θ‑미분 연산자를 통해 연결한다. 핵심적인 ‘리지 레이’ 분석은 발산 제약식이 cos 2θ=0 을 강제함을 이용한다. 따라서 θ₀=±π/4 가 고정되고, 해당 레이에서는 대류 항이 사라진다. 이때 물질 미분 연산자는 단순히 ∂ₜ 로 축소되며, (¯U, ¯V) 는 1+1 차원 반대류 반응 시스템으로 전개된다. 저자들은 이 시스템을 CLM 모델과 동형임을 보이고, CLM 의 명시적 해를 그대로 차용한다. 초기 데이터 a(x)=A(1+x⁴), b(x)=B x⁴(1+x⁴)² 를 선택하면, 해는 t→T=6A 에서 x→0 로 갈 때 무한대로 발산한다. 리지를 넘어 전체 섹터에 해를 확장하기 위해, 저자들은 θ‑의존적인 반경 변수 r = x²+A₁ cos²(2θ) 를 도입하고, a와 b 를 r 로 교체한다. 이렇게 하면 배경 해 (U, V) 가 θ=±π/4 에서만 특이점을 갖고, 나머지 각도에서는 유계성을 유지한다. 배경 해에 대한 압력 P 와 스트림 함수 Ψ 도 동일한 방식으로 정의되며, Ψ 는 θ‑방향에 대해 가중 발산형 연산자 L_θ 로 닫힌다. L_θ 의 정의는 w(θ)=sin2θ cos2θ 로 주어지는 가중 함수를 이용해  L_θ f = (1/w)∂_θ(w∂_θ f) 이며, 경계조건 Ψ_θ(±π/4)=0 를 만족한다. 섹션 3에서는 섭동 변수 (u, v, g) 를 도입하고, 원래 방정식에 대입해 10개의 방정식 형태로 분리한다. 여기서 교차 항을 소거하기 위해 ‘분리 함수’ U₁, V₁, G₁ 등을 정의하고, 섭동 방정식은 가중 발산형 구조를 유지한다. 섹션 4에서는 가중 에너지  E_k(t)=∑_{|α|≤k}∫_{x≥0,|θ|≤π/4} w(θ) |∂^α(u,v,g)|² dx dθ 를 도입하고, 배경 해의 명시적 형태와 섭동 방정식의 구조를 이용해 dE_k/dt ≤ C E_k 로 추정한다. 여기서 C 은 폭발 전까지 유한한 상수이며, 따라서 E_k(t) 은 t∈