이차식 대리모델 기반 입자군집 최적화

본 논문은 입자군집 최적화(Particle Swarm Optimization, PSO)의 전통적인 전역 최적값(gbest) 사용 방식에 대한 근본적인 대안을 제시한다. 기존 PSO는 입자 각각이 자신의 개인 최적(pbest)과 전체 입자군의 최우수 해(gbest)를 끌어당김점으로 삼아 탐색한다. 그러나 gbest가 지역 최소점에 머무를 경우, 전체 군이 그 지역에 고정돼 조기 수렴이 발생한다. 이를 해결하고자 저자들은 다수의 우수 후보점을 활용해 n차원 이차식 대리모델을 구축하고, 그 최소점을 새로운 사회적 끌어당김점으로 사용한다. 방법론은 다음과 같다. 먼저, 현재까지 평가된 입자들의 위치 중 상위 N_Q=(n+1)(n+2)/2개의 점을 힙 구조를 이용해 효율적으로 관리한다. 이 점들은 이차식 모델 ˆf(x)=c+aᵀx+xᵀBx 를 완전히 결정하기에 충분한 정보량을 제공한다. 선형 시스템 Mθ=f(Q) 를 풀어 상수항 c, 선형계수 a, 대칭행렬 B를 추정한다. B가 양정방행렬이면 해석적으로 최소점 x_min=−½B⁻¹a 를 구하고, 이를 현재 입자의 속도 업데이트 식 V_{k+1}=ωV_k+c₁r₁(pbest−X_k)+c₂r₂(x_min−X_k) 에 삽입한다. 만약 B가 비가역이거나 샘플이 부족하면 기존 gbest 로 fallback한다. 계산 복잡도는 기존 PSO의 O(N_p·n·n_i·C_obj) 에 추가로 O(N_Q³) 의 행렬 연산 비용이 들어가지만, N_Q는 차원에 따라 제한적이며 목표 함수 평가 비용이 큰 경우 전체 부하에 미치는 영향은 미미하다. 또한, 대리모델 구축에 필요한 비교 연산은 힙을 이용해 O(log N_Q) 로 효율적으로 처리된다. 실험은 200회 반복, 400번 독립 실행을 통해 Ackley, Griewank, Sphere, Flower 등 4가지 대표 벤치마크 함수를 대상으로 수행되었다. 실험 환경은 Intel i7‑9750H 기반 노트북이며, 파라미터는 ω₀=0.72984, c₁₀=2.8, c₂₀=2.05, vmax₀=2, 최대 반복 K=200, 탐색 보호 파라미터 S=52, τ=1.2 로 동일하게 설정하였다. 결과는 평균 최적값과 사분위 범위(IQR) 로 시각화했으며, 모든 함수에서 제안 알고리즘이 평균 수렴 속도가 빠르고 변동성이 낮았다. 특히 Ackley와 Griewank 같은 다중모드·잡음이 섞인 함수에서는 조기 수렴을 방지하고 전역 최적점에 더 빨리 도달함을 확인했다. Sphere와 Flower 같은 구조화된 함수에서도 차원 증가에 따라 대리모델이 제공하는 추가 정보가 성능 향상에 기여했다. 논문의 주요 기여는 (1) 다수의 우수 샘플을 활용한 이차식 대리모델 기반 새로운 사회적 끌어당김점 제시, (2) 기존 PSO 대비 최소한의 추가 연산으로 높은 성능 향상 달성, (3) 광범위한 벤치마크와 통계적 검증을 통한 실증적 신뢰성 확보이다. 한계점으로는 고차원·고비선형 문제에서 이차식 근사의 정확도가 떨어질 수 있으며, B 행렬이 특이할 경우 fallback 메커니즘에 의존한다는 점을 들 수 있다. 향후 연구에서는 비선형 대리모델(예: RBF, Gaussian Process)과의 혼합, 적응형 N_Q 선택, 그리고 다목적 최적화에의 확장 등을 제안한다.