근사 쿠프만 임베딩을 이용한 비선형 시스템 데이터 기반 예측 제어 안정성 보장

본 논문은 Willems 기본정리를 기반으로 한 데이터‑드리븐 모델 예측 제어(DeePC)가 선형 시스템에 대해서는 안정성과 견고성을 이론적으로 보장하지만, 비선형 시스템에 대해서는 아직 충분히 정립되지 않은 점을 출발점으로 한다. 이를 해결하기 위해 저자들은 “근사 쿠프만 선형 임베딩(Approximate Koopman Linear Embedding)”이라는 새로운 프레임워크를 도입한다. 먼저, 비선형 시스템 \(x_{k+1}=f(x_k,u_k),\; y_k=g(x_k,u_k)\) 에 대해, 고차원 관측 함수 \(\Phi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n_z}\) 를 정의하고, \(z_k=\Phi(x_k)\) 가 \(z_{k+1}=Az_k+Bu_k\) 와 \(y_k=Cz_k+Du_k\) 형태의 선형 동역학을 근사한다는 정의를 제시한다. 여기서 오차 \(e_k\) 와 \(\eta_k\) 는 각각 상태와 출력에 대한 비례‑오프셋 형태의 경계 \(\|e_k\|\le\epsilon_A\| \bar z_k\|+\epsilon_B\|\bar u_k\|+c_0,\;\|\eta_k\|\le\epsilon_C\|\bar z_k\|\) 를 만족한다. 이러한 정의는 기존의 정확한 쿠프만 임베딩이 거의 존재하지 않는 현실적인 물리 시스템에 적용 가능하도록 설계되었다. 다음으로, 논문은 이러한 근사 임베딩이 존재한다면 비선형 시스템의 입력‑출력 데이터는 “노미널 선형 시스템 + 잡음” 형태로 해석될 수 있음을 보인다. 즉, 임베딩을 통해 얻은 선형 모델 \((A,B,C,D)\) 은 실제 시스템과의 차이를 \(\bar\epsilon\) 라는 효과적인 잡음 수준으로 표현한다. 이 잡음 수준은 기존 견고 데이터‑드리븐 MPC 이론