데이터 기반 최소·최대 함수로 비선형 복원력 모델링 및 강제 응답 예측

** 본 논문은 비선형 복원력을 가진 기계 시스템을 데이터 기반으로 식별하고, 이를 이용해 강제 응답을 예측하는 새로운 방법을 제안한다. 연구 배경으로는 기존의 데이터‑드리븐 방법들—예를 들어 Koopman 연산자 기반 DMD, ANN, 물리‑정보 신경망(PINN), SINDy 등—이 소개되며, 이들 중 ANN은 표현력은 뛰어나지만 모델이 블랙박스가 되어 물리적 해석이 어렵다는 한계가 지적된다. 이를 극복하기 위해 저자들은 보편 근사 정리(Universal Approximation Theorem)를 기반으로, 비선형 함수 f(x) 를 min·max 함수들의 선형 결합으로 근사한다는 아이디어를 제시한다. 수학적 전개에서는 1 DOF 질량‑스프링‑댐퍼 시스템 m¨x + cẋ + kx + f(x)=0 을 시작으로, f(x)≈aᵀη(x,d) 형태를 도출한다. 여기서 η 는 max(0,·) 또는 min(0,·) 함수이며, a 는 가중치, d 는 편향이다. 이를 물리적으로 해석하면, 각 η 함수가 ‘초기 간격(gap)’을 가진 조각별 선형 스프링을 의미한다. 즉, f(x)≈∑_{j=1}^M k̄_j min(0, x‑ḡ_j) + ∑_{j=1}^N k_j max(0, x‑g_j) 와 같이 표현된다. 다음으로 스프링 상수와 간격을 식별하는 두 가지 시나리오가 제시된다. 1) **직접 방법(Direct method)**: 비선형 힘 f(x) 가 직접 측정 가능한 경우, x 와 f(x) 의 이산 데이터에 대해 L·κ≈f (여기서 L은 min·max 함수들의 라이브러리 행렬) 형태의 선형 최소제곱 문제를 풀어 κ (스프링 상수 집합)를 구한다. 2) **간접 방법(Indirect method)**: 힘을 직접 측정할 수 없고 x, ẋ, ¨x 만 측정 가능한 경우, 동역학식을 ¨x + 2ζωₙẋ + ωₙ²x = −L·κ 형태로 재배열하고, 좌변을 계산한 뒤 동일한 최소제곱 회귀를 수행한다. 이론적 기반을 바탕으로 세 가지 실험·시뮬레이션이 수행된다. - **듀핑 진동기**: p₁x + p₂x³ 형식의 비선형 항을 min·max 함수들로 근사한다. (M,N) = (8,8), (32,32), (128,128) 의 경우를 비교했으며, 조각 수가 늘어날수록 x³ 곡선을 정확히 재현한다. 추정된 모델을 이용해 강제 조화 기반 응답을 시뮬레이션했을 때, 원 시스템과 거의 일치함을 확인한다. - **조각별 선형 스프링 시스템**: 초기 간격을 가진 비선형 스프링을 직접 측정한 데이터를 이용해 직접 방법으로 식별하고, 강제 응답을 검증한다. - **실험적 캔틸레버 플레이트**: 플레이트 끝에 영구 자석을 부착해 비선형 자기 복원력을 발생시킨다. 자유 응답(진동 감쇠) 데이터를 수집하고, 간접 방법으로 min·max 스프링 모델을 추정한다. 추정된 모델은 기본 주파수와 고조파까지 포함한 강제 베이스 진동 응답을 정확히 예측한다. 결과적으로, 제안된 방법은 (1) 물리적 해석이 가능한 파라미터(스프링 상수·간격)를 제공하고, (2) 선형 회귀만으로 식별이 가능해 계산 비용이 낮으며, (3) 기존 ANN 기반 모델의 블랙박스 문제를 해결한다는 장점을 갖는다. 한편, 간격 선택과 데이터 품질(특히 가속도 측정)의 민감도가 존재함을 언급하고, 향후 정규화 기법, 자동 간격 탐색, 다중 자유도 시스템 확장 등을 연구 과제로 제시한다. **