제한된 3변수 클래스에서 무한한 APN 순열 패밀리

본 논문은 $\mathbb{F}_{2^{m}}$ 위에서 정의되는 두 종류의 3변수 2차 다항식 $G_a$와 $H_a$에 대해, 스칼라 파라미터 $a$ 를 전부 비영 원소 $\mathbb{F}_{2^{m}}^{*}$ 로 확장함으로써 무한한 APN(Almost Perfect Nonlinear) 순열 패밀리를 구축한다. 연구는 다음과 같은 흐름으로 전개된다. 1. **배경 및 동기** - APN 함수는 차분 균일도가 최소인 함수로, 차분 암호분석에 최적이다. 특히 APN이면서 순열인 경우 S‑box 설계에 이상적이다. 기존에는 차원 9(=3·3)에서 두 개의 희귀 APN 순열이 알려졌으며, Li–Kaleyski(2024)는 이를 $\mathbb{F}_{2^{3m}}$ 로 일반화해 $a\in\mathbb{F}_{2}$ 로 제한된 두 무한 패밀리를 제시했다. - 그러나 $a$ 를 전체 $\mathbb{F}_{2^{m}}^{*}$ 로 확장하면 더 많은 파라미터가 존재할 가능성이 있다. 이 논문은 그 가능성을 정량화하고, 새로운 비동형성을 입증한다. 2. **정의와 기본 설정** - $q=2^{i}$, $\gcd(i,m)=1$, $m$은 홀수라고 가정한다. - $G_a(x,y,z)=(x^{q+1}+ax^{q}z+yz^{q},\;x^{q}z+y^{q+1},\;xy^{q}+ay^{q}z+z^{q+1})$ - $H_a(x,y,z)=(x^{q+1}+axy^{q}+yz^{q},\;xy^{q}+z^{q+1},\;x^{q}z+y^{q+1}+ay^{q}z)$ - $a=1$ 일 때 각각은 Li–Kaleyski가 제시한 $F_1$, $G_1$에 해당한다. 3. **루트‑동등성 정리** - $P_a, P'_a, Q_a, Q_a^{q}, R_a, S_a$ 등 여섯 개의 일변량 다항식을 정의하고, 각각을 역다항식, 프뢰베니우스 자동사상, 변수 치환 등을 통해 서로 변환한다. - 이 과정에서 모든 다항식이 동일한 영근 집합을 갖는다는 ‘루트‑동등성’이 증명된다. 핵심 다항식은 \