극단적 수렴을 보이는 평균장 제어 게임을 위한 외부경사법 및 평균장형 전방‑후방 SDE 해법

본 연구는 평균장 제어 게임과 일반 평균장형 전방‑후방 확률 미분 방정식(FBSDE)의 해를 찾기 위한 새로운 수치 스키마를 제시한다. 첫 번째 단계에서는 평균장 게임의 균형조건을 확률 변수들의 L²‑Hilbert 공간 H에 정의된 연산자 v에 대한 변분 부등식 형태로 변환한다. 여기서 v는 단조(monotone)이며, 충분히 강한 단조성(strong monotonicity) 가정 하에 고유한 영점 x*를 갖는다. 이러한 변환은 기존의 마스터 방정식 접근법이나 PDE 기반 방법과 달리, 직접적인 확률적 프레임워크 내에서 문제를 정의한다는 장점을 가진다. 다음으로, 고전적인 고정점 반복 xₙ₊₁ = xₙ − γ v(xₙ₊₁) 은 암묵적인 연산을 필요로 하여 계산 비용이 prohibitive 하다. 이를 해결하기 위해 외부경사(Extragradient) 방법을 도입한다. 외부경사는 두 단계의 예측‑보정 과정을 통해 xₙ₊₁를 명시적으로 계산한다: 1️⃣ 예측 단계: ẋₙ = xₙ − γ v(xₙ) 2️⃣ 보정 단계: xₙ₊₁ = xₙ − γ v(ẋₙ) 이 과정은 Hilbert 공간 전반에 걸쳐 일반화된 Lemma 1.4에 의해 수렴성이 보장된다. 단계 크기 γ는 양의 실수이며, 일정하거나 점차 감소시킬 수 있다. 논문은 평균장 제어 게임에 특화된 “변위 단조성(displacement monotonicity)”을 L²‑단조성으로 구체화한다. 구체적으로, 비용 함수 g와 L이 각각 x와 α에 대해 볼록이며, ∇ₓg와 ∇ₓL·∇αL 사이의 교차항이 양의 하한 c_L을 만족한다. 이 조건은 연산자 v가 β‑강단조성을 갖게 하며, β는 c_L에 비례한다. 강단조성 하에서는 γ를 0 < γ < 2/β 로 잡으면 수렴률이 (1+γβ)⁻¹ 형태의 지수적 감소를 보인다. 따라서 이론적으로는 “선형(convergence) 수렴”이라 불리는 지수적 수렴이 보장된다. 공통 잡음이 포함된 평균장형 FBSDE(식 1.3) 에 대해서도 동일한 프레임워크가 적용 가능하다. 공통 잡음은 조건부 분포 L(Xₛ,Uₛ|ℱ₀ₛ) 로 나타나며, 단조성 가정은 잡음에 독립적이다. 따라서 외부경사 알고리즘을 그대로 사용하되, 각 반복에서 공통 잡음 샘플을 추가로 시뮬레이션하면 된다. 이 경우 연산 복잡도는 증가하지만, 수렴 속도 자체는 변하지 않는다. 알고리즘과 가상 플레이(Fictitious Play) 사이의 관계도 상세히 논의한다. 가상 플레이는 매 반복마다 현재 정책을 고정하고 상대방의 최적 반응을 계산하는 절차이며, 이는 외부경사의 예측‑보정 단계와 일치한다. 따라서 변위 단조성 하에서 가상 플레이의 수렴성을 외부경사법의 수렴 이론으로 재해석할 수 있다. 수치 실험에서는 1차원 선형-이차 비용, 다차원 비선형 시스템, 그리고 공통 잡음이 있는 경우를 포함한 여러 테스트베드를 사용하였다. γ와 초기값을 다양하게 변형했음에도, β가 충분히 큰 경우(강한 단조성)에는 10~15회 반복 내에 오차가 10⁻⁶ 수준으로 수렴하였다. 또한, 강단조성 파라미터 β가 작아질수록 수렴 속도가 느려지지만, γ를 적절히 조정하면 여전히 선형 수렴을 유지한다는 점이 확인되었다. 결론적으로, 본 논문은 평균장 게임과 평균장형 FBSDE를 단조 변분 부등식으로 재구성하고, 외부경사법을 통해 명시적이고 효율적인 수치 스키마를 제공한다. 강한 단조성 가정 하에 지수적 수렴을 보장하며, 공통 잡음이 포함된 경우에도 동일한 이론이 적용된다. 이는 기존의 PDE‑기반 혹은 고정점 반복 기반 방법에 비해 구현이 간단하고, 고차원·무한 차원 게임에도 확장 가능함을 의미한다.