전체공간 2차원 확률 소용돌이 모델의 엔트로피 정량적 추정

본 논문은 2차원 확률 소용돌이 모델을 전체유클리드 공간 ℝ²에서, 개별 입자 잡음과 공통 환경 잡음이 동시에 작용하는 중간 상호작용(regime) 하에 정량적으로 분석한다. 먼저, 입자계 (2)를 정의하고, 스케일링 V_N(y)=N^β V(N^{β}y) (β∈(0,½)) 로 커널을 부드럽게 하여 중간 상호작용을 구현한다. Biot‑Savart 커널 K는 발산이 0이며, L^∞ 행렬 K₀의 발산 형태(K=∇·K₀) 로 표현된다. 초기분포 ρ₀는 가우시안 꼬리를 갖는 충분히 정규화된 함수이며, 입자 초기 위치는 i.i.d. 로 ρ₀ 를 따른다. 주요 목표는 정규화된 경험적 측도 ρ_N(t)=V_N * S_N(t) 와 제한 방정식 (1)의 해 ρ(t) 사이의 상대 엔트로피 H(ρ_N|ρ)를 시간에 따라 제어하는 것이다. 이를 위해 Itô 공식에 기반한 엔트로피 진화식 (19)를 도출하고, 네 개의 항 I_t, I I_t, I I I_t, M_N(t) 로 분해한다. 비선형 항 I_t 은 K∗ρ와 K∗ρ_N 사이의 차이를 포함하며, Donsker‑Varadhan 부등식을 활용해 Fisher 정보 I(ρ_N|ρ) 로 상한을 만든다. 변동항 I I_t+I V_t 은 V_N 의 제곱과 입자 위치에 대한 적분 형태이며, 전체공간에서의 경계조건 부재 때문에 새로운 정지시간 τ_N 을 도입한다. 초기분포의 초가우시안 꼬리와 Borel‑Cantelli 보조정리를 이용해 τ_N>0 를 거의 확실히 확보하고, τ_N 이전 구간에서 V_N 의 급감성을 이용해 I I_t+I V_t 를 O(N^{2β/d}) 로 억제한다. 또한, M_N(t) 에 포함된 마팅게일 항을 개별 및 공통 잡음 각각에 대해 2차 변동을 계산하고, 차수 1/2−β(1+1/d) 로 수렴함을 보인다. 이때 β와 차원 d, 그리고 커널 감소 지수 α 에 따라 θ = min{1−β(2+2d+2α), ½−β(1+1/d)}−δ (δ>0) 로 정의된 양이 양수이면, N^θ sup_{t∈