무작위키 최적화기로 푸는 대규모 혼합정수 프로그램

본 논문은 혼합정수 프로그램(MIP)의 해법으로서 Random‑Key Optimizer(RKO)라는 메타휴리스틱 프레임워크를 제안한다. 서론에서는 MIP가 NP‑hard 특성을 가지며, 상용 솔버가 작은·중간 규모에서는 뛰어나지만 대규모·고제약 인스턴스에서는 지수적 시간 증가로 한계가 있음을 지적한다. 이를 보완하기 위해 연속적인 무작위키 공간에서 탐색하고, 문제별 디코더를 통해 정수·연속 변수와 제약을 만족하는 해를 생성하는 접근법을 제시한다. 2절에서는 기존의 Biased Random‑Key Genetic Algorithm(BRKGA)을 기반으로, 무작위키를 다양한 메타휴리스틱(GA, SA, PSO, ILS, VNS 등)과 결합한 일반화된 RKO 구조를 설명한다. 핵심 구성 요소는 (1) 무작위키 풀, (2) 엘리트 풀 관리, (3) 쉐이킹·블렌딩 연산, (4) 문제 독립적인 로컬 서치(네 가지 LS)이며, 모든 연산은 디코더 호출을 통해 현재 해의 적합도(fitness)를 평가한다. 알고리즘 1은 전체 흐름을 의사코드 형태로 제시하고, 알고리즘 2는 정수·연속 변수 매핑과 제약 위반에 대한 패널티 함수(ϕ(Δ)=P·Δ²)를 정의한다. 3절에서는 MILP의 일반적 수학적 정의와, 무작위키 → 실제 변수 변환 방식을 상세히 기술한다. 정수 변수는 라운딩을, 연속 변수는 선형 스케일링을 사용하며, Ax≤b 제약 위반 시 큰 패널티를 부과해 탐색이 점차 feasible 영역으로 이동하도록 설계한다. 패널티 파라미터 P는 외부 루프에서 자동 혹은 수동으로 조정 가능하도록 두어, 문제 특성에 맞는 균형을 맞춘다. 4절에서는 두 구체적 사례를 제시한다. 첫 번째는 제한된 자산 수와 최소 투자 비율(buy‑in) 및 cardinality 제약을 포함한 마코위츠 포트폴리오 모델이다. 여기서 디코더는 (a) 무작위키 순위에 따라 자산 선택을 결정하고, (b) 선택된 자산에 대해 무작위키 값을 비중으로 변환하는 두 단계 구조를 갖는다. 두 번째는 시간‑의존 TSP(TD‑TSP)이다. 디코더는 무작위키 순열을 기반으로 방문 순서를 생성하고, 각 구간의 시간 윈도우와 서브루트 제거 규칙을 적용해 feasible tour를 만든다. 두 모델 모두 문제 특유의 제약을 디코더 내부에서 직접 처리함으로써, 탐색 공간을 크게 축소하고 연산 효율을 높였다. 5절에서는 실험 설계와 결과를 보고한다. 실험 환경은 동일한 하드웨어·시간 제한 하에, RKO와 상용 솔버(Gurobi, CPLEX)를 비교하였다. 포트폴리오 문제에서는 평균 목표 함수값이 1.8% 개선되었으며, 최적에 근접한 해를 40% 적은 시간에 찾았다. TD‑TSP에서는 최악의 경우 5% 이하의 비용 차이로 최적 해에 근접했으며, 특히 2000개 도시 이상 인스턴스에서 RKO가 2배 이상 빠른 수렴 속도를 보였다. 또한, 엘리트 풀 크기와 쉐이킹 비율 등 파라미터에 대한 민감도 분석을 수행해, 적절한 설정이 성능에 크게 기여함을 확인했다. 6절은 결론으로, RKO가 MIP 해결에 있어 (1) 문제 독립적인 탐색 구조, (2) 디코더를 통한 제약 자연스러운 처리, (3) 다양한 메타휴리스틱과의 융합 가능성이라는 세 가지 핵심 장점을 갖는다고 요약한다. 다만, 디코더 설계가 문제마다 맞춤형으로 필요하고, 패널티 파라미터 자동 튜닝 메커니즘이 아직 미비함을 한계로 제시한다. 향후 연구에서는 자동 디코더 생성, 적응형 패널티 학습, 그리고 대규모 병렬 구현을 통해 RKO의 확장성을 더욱 강화할 계획이다.