슬라이딩 윈도우 기반 잠재 복원력 모델링

본 논문은 다중 자유도( MDOF ) 기계 시스템에서 기존 복원력 표면(RFS) 방법이 요구하는 전 자유도에 대한 완전한 변위·속도·가속도 측정의 실현 가능성 문제를 해결하고자 한다. 이를 위해 저자는 무작위 위상 멀티신(random‑phase multisine) 신호를 이용한 슬라이딩‑윈도우 피드백 프레임워크를 제안한다. 먼저 시스템을 비선형 선형 분수 표현(NL‑LFR) 형태로 모델링한다. 연속시간 상태 방정식(3a‑3d)은 선형 부분(A, B_u, B_w, C_y, D_yu 등)과 비선형 정적 매핑 f(·)으로 구성되며, 비선형 입력 w(t)=f(z(t))는 잠재 상태 x(t)와 직접 연결된다. 물리적 파라미터 θ_phys는 선형 부분에만 적용되며, 비선형 매핑은 다항 피처 φ(z)와 계수 β의 선형 결합 형태로 가정한다. 입력은 주기적이며 동일 주기의 출력(PISPO) 특성을 갖는 멀티신이며, 이는 BLA(Best Linear Approximation) 이론에 따라 시스템의 평균적인 선형 동특성을 추정할 수 있게 한다. BLA는 비모수적으로 주파수 응답 행렬(G_BLA)로 얻어지며, 이를 파라메트릭 형태 G(ζ_k|θ_phys)와 비교해 가중 제곱 잔차(식 12)를 최소화함으로써 초기 선형 파라미터를 최적화한다. 이 단계는 물리적 해석 가능성을 유지하면서 선형 동특성을 정확히 포착한다. 다음으로, 초기 선형 모델을 고정하고 슬라이딩 윈도우를 적용한다. 각 윈도우 내에서 현재 추정된 선형 모델을 사용해 상태 방정식을 역으로 풀어 잠재 상태 x̂와 비선형 입력 ẑ를 재구성한다. 이렇게 얻은 (ẑ, ŵ) 데이터에 대해 다항 피처 φ(ẑ)와 비선형 출력 ŵ 사이의 선형 관계 β·φ(ẑ)=ŵ을 해결해 β를 직접 계산한다. 이 과정은 비선형 파라미터 추정을 고차원 비선형 최적화가 아닌 단순 선형 회귀로 전환시켜 계산 비용과 수렴 문제를 크게 완화한다. 마지막 단계에서는 전체 파라미터 θ=(θ_phys,β)를 공동 최적화한다. 초기 선형 파라미터와 비선형 계수가 각각 독립적으로 추정된 후, 서로 간의 상호작용으로 발생할 수 있는 편향을 보정하기 위해 전체 손실 함수(시뮬레이션 출력과 실제 출력 간의 제곱 오차, 비선형 왜곡 및 잡음 가중치 포함)를 최소화한다. 이때 ZOH(Zero‑Order Hold) 이산화에 따른 근사 오차를 최소화하기 위해 충분히 작은 샘플링 주기를 선택한다. 제안된 방법의 성능은 세 가지 사례 연구를 통해 검증된다. 첫 번째는 합성 SDOF 시스템으로, 완전 측정 상황과 부분 측정 상황 모두에서 0 dB 이하의 시뮬레이션 오류를 달성하였다. 두 번째는 비선형 힘이 적용된 자유도가 일부만 측정된 MDOF 시스템으로, 기존 RFS 방법이 실패하는 상황에서도 정확한 비선형 복원력과 선형 파라미터를 복원하였다. 세 번째는 실험적 SDOF 벤치마크(진동 시험대)로, 실제 측정 노이즈와 센서 드리프트가 존재함에도 불구하고 비선형 복원력 곡선을 재현하고, 물리적 질량·감쇠·강성 파라미터를 5 % 이내의 오차로 추정하였다. 본 연구는 (1) 측정 변수와 센서 수에 대한 제한을 크게 완화하고, (2) 멀티신 신호가 시스템 전역에 걸쳐 충분히 영구적으로 흥분될 경우 모든 자유도에 대한 정보를 간접적으로 획득할 수 있다는 점에서 기존 RFS 방법을 확장한다. 또한, 비선형 복원력을 비모수적으로 재구성한 뒤 다항 피처로 근사함으로써 물리적 해석 가능성을 유지한다. 다만, ZOH 이산화에 따른 내부 비선형 피드백 w(t)의 연속성 가정이 근사오차를 유발할 수 있으며, 윈도우 길이 선택이 시스템 비선형성 정도와 신호 대 잡음비에 민감함을 확인하였다. 향후 연구에서는 비정상적 입력, 비주기적 동작, 그리고 실시간 적용을 위한 온라인 슬라이딩 윈도우 알고리즘 개발이 제안된다.