커널 밀도 추정기의 I‑MSE와 max‑MSE에 대한 유한표본 상한

본 논문은 커널 밀도 추정기의 유한표본 성능을 정량화하기 위해, 전통적인 비대칭·비정규화 커널을 포함한 다양한 커널 형태에 대해 통합 평균제곱오차(I‑MSE, 즉 MISE)와 최대 평균제곱오차(max‑MSE)의 상한을 명시적으로 도출한다. 연구는 크게 두 부분으로 나뉜다. 첫 번째 부분(Section 2~4)은 전통적인 확률밀도형 커널 K를 가정한다. K는 비음성, 적분값 1, 제곱적분가능, 그리고 필요시 Cauchy principal value 적분으로 정규화된다고 가정한다. 이때 커널 추정량 p̂_n,h(x)=n⁻¹∑K_h(x−X_j)의 특성함수는 f_n(t)·φ(ht)이며, 여기서 f_n(t)=n⁻¹∑e^{itX_j}는 경험적 특성함수, φ는 K의 특성함수이다. Fourier 변환과 Parseval‑Plancherel 정리를 이용해 편향, MSE, MISE를 각각 (2.6)~(2.8) 형태로 표현한다. Lemma 1은 MSE를 두 항으로 분리한다. 첫 번째 항은 (1/n)·