하크스 과정의 선형 기반 식별: 폐쇄형 최소제곱 추정기와 점근 이론

본 논문은 신경 영감 모델링과 고주파 금융, 유전체학 등에서 점과정 데이터가 폭증함에 따라, 하크스 프로세스(Hawkes process)를 이용한 시스템 식별의 필요성을 강조한다. 하크스 프로세스는 자기 흥분(self‑exciting) 특성을 갖는 점과정으로, 강도 함수가 과거 이벤트와의 컨볼루션 형태인 \(\lambda(t)=c+\int_{-\infty}^{t}\phi(t-u)dN_u\) 로 표현된다. 여기서 \(\phi(\cdot)\) 가 Hawkes Impulse Response(HIR)이며, 이를 직접 추정하려면 비선형 파라미터 최적화가 요구돼 계산량이 급증한다. 이에 저자들은 **사전 정의된 인과 기반 함수 집합 \(\{\phi_i(t)\}_{i=1}^P\)** 를 사용해 HIR을 \(\phi(t)=\sum_{i=1}^P \theta_i \phi_i(t)\) 로 선형 결합한다. 이렇게 하면 강도 함수는 \(\lambda(t)=c+\sum_i \theta_i \int_{-\infty}^{t}\phi_i(t-u)dN_u\) 로 완전 선형화된다. ### 1. 최소제곱(LS) 문제 설정 관측 구간 \((0,T]\) 에서의 누적 카운팅 과정 \(\tilde N_t\) 를 이용해, LS 목적함수는 \