위상 신호 처리 기반 3D 포인트 클라우드 분석

본 논문은 3차원 포인트 클라우드(PC)를 위상 신호 처리(TSP) 프레임워크에 적용하기 위해, 먼저 포인트 클라우드에서 Delaunay 삼각분할을 수행해 정점(N), 엣지(E), 삼각형(T)으로 구성된 기하학적 심플렉스 복합체(GSC)를 만든다. 각 정점에는 색상 벡터(R,G,B)와 같은 3차원 속성을, 각 삼각형에는 표면 법선과 같은 3차원 벡터를 할당한다. 이렇게 함으로써 색상은 정점 위의 벡터 신호, 법선은 2‑심플렉스 위의 벡터 신호로 모델링된다. DEC(Discrete Exterior Calculus) 이론을 기반으로 경계 행렬 B₁(엣지‑정점)와 B₂(삼각형‑엣지)를 정의하고, 위트니 보간 함수 φ^{(k)}를 이용해 각 차원별 내적을 나타내는 가중 행렬 M₀, M₁, M₂를 구성한다. 이를 통해 1차 라플라시안 L₁ = M₁ B₁ᵀ M₀^{-1} B₁ M₁ + B₂ M₂ B₂ᵀ 를 도출한다. L₁은 하위 인접성(엣지‑엣지)과 상위 인접성(엣지‑삼각형) 두 부분으로 나뉘며, 이는 전통적인 그래프 라플라시안이 포착하지 못하는 삼각형 간의 고차 상호작용을 수학적으로 표현한다. 색상 복원 단계에서는 정점 벡터를 엣지 스칼라 신호 s₁으로 투사한다. 구체적으로, 각 엣지 m의 양 끝점 p_{m1}, p_{m2}와 해당 정점 벡터 v(p)를 사용해 s₁ₘ = ½