불확실성 하 저추력 궤도 설계의 새로운 접근: 블록‑촐레스키 기반 위험 제약 최적화

본 논문은 차세대 우주 임무 설계에서 필수적인 ‘통계적 위험 관리’를 핵심 목표로 삼아, 저추력 궤도 설계 문제에 대한 새로운 최적화 프레임워크를 제시한다. 서론에서는 기존의 휴리스틱 마진 방식이 한계에 봉착했으며, 최근 확률 최적 제어와 볼록 최적화 기술의 발전이 이러한 한계를 극복할 수 있는 기반을 제공한다는 점을 강조한다. 특히, 최적 공분산 스티어링(optimal covariance steering) 개념을 도입해 상태 평균과 공분산을 동시에 제어함으로써, 항법(OD)과 비행 경로 제어(FPC)의 통합 설계가 가능함을 설명한다. 문제 정의 단계에서는 초기 상태 분산, 항법 측정 오차, 추진 실행 오차, 그리고 동역학 모델링 오차를 모두 가우시안 확률 변수로 모델링한다. 초기 상태는 N(x₀, P₀) 형태로, 추진 실행 오차는 Gates 모델을 이용해 명령 입력 u와 연계된 공분산 G_exe(u)·I₃ 형태로 기술한다. 이러한 확률 모델은 연속적인 비선형 시스템 식 ˙x = f₀(x,t) + F(x)u에 결합되어, 전체 시스템을 확률적 비선형 동역학으로 만든다. 핵심 이론적 기여는 ‘블록‑촐레스키’ 접근이다. 기존의 full‑covariance 방식은 공분산 전체를 변수화해 계산량이 O(N·(n_x+n_u)) 수준으로 감소했지만, 수치적 병렬성 악화와 비볼록 확률 제약이라는 문제를 안고 있었다. 반면, 블록‑촐레스키 방식은 시스템 방정식을 블록 매트릭스로 구성하고, 각 단계의 공분산 촐레스키 요인 L_k를 의사결정 변수로 사용한다. 이렇게 하면 공분산 전파 방정식은 L_k·L_kᵀ 형태로 표현되며, 확률 제약(예: 제어 크기 확률 제약, 상태 반평면 확률 제약)은 L_k에 대해 선형/볼록 형태로 유지된다. 또한, 스쿼어‑루트 필터와 KKT 보완 조건을 활용해 손실 없이 볼록화가 가능하므로, 수치적 안정성도 크게 향상된다. 볼록화된 문제는 순차 볼록 최적화(SCP) 알고리즘인 SCvx*에 매핑된다. SCvx*는 현재 해를 기준으로 시스템과 제약을 1차 Taylor 전개하여 볼록 서브문제를 만든 뒤, 신뢰 구간 기반 라인 서치와 페널티 파라미터 업데이트를 통해 전역 수렴성을 보장한다. 논문은 기존 SCvx*가 다루던 L₂‑패널티만을 허용하던 제한을 넘어, L₁‑패널티를 부드러운 근사(예: Huber 함수)로 확장함으로써 제어 입력의 절대값 제약을 효과적으로 다룰 수 있게 했다. 또한, 3차원 제어 크기 확률 제약을 보수적으로 근사하는 새로운 제약식(예: Chebyshev 부등식 기반)을 도입해, 기존 연구보다 더 엄격한 위험 제한을 만족한다. 알고리즘 흐름은 다음과 같다. (1) 초기 궤적과 FPC 정책을 선형화된 근사값으로 설정하고, (2) 블록‑촐레스키 형태의 공분산 스티어링 문제를 풀어 평균·공분산 궤적을 얻으며, (3) SCvx* 서브문제를 해결해 궤적과 제어 정책을 업데이트한다. 이 과정을 수렴할 때까지 반복한다. 실험에서는 화성 중력 어시스트를 활용한 세레스 탐사 미션을 대상으로 적용하였다. 패치드‑콘식 모델을 사용해 중력 어시스트를 정확히 모델링하고, 저추력 연속 추진 구간을 포함한 전체 궤적을 최적화하였다. 목표 비용 함수는 ΔV99(99% 분위수 ΔV)이며, 위험 제약은 99.9% 신뢰 구간 내 충돌 회피와 제어 크기 확률 제한을 포함한다. 최적화 결과는 ΔV99를 기존 설계 대비 약 7% 감소시키면서, 모든 위험 제약을 만족하였다. 최종 검증은 고정밀 비선형 다체 시뮬레이션과 10⁴ 회 이상의 Monte‑Carlo 시뮬레이션을 통해 수행했으며, 평균 ΔV와 ΔV99 모두 목표값 이하로 유지됨을 확인했다. 결론에서는 블록‑촐레스키 기반 최적 공분산 스티어링과 SCvx*를 결합한 접근법이 (1) 계산 복잡도를 크게 낮추면서도 (2) 볼록 확률 제약을 유지하고, (3) ΔV99와 같은 비선형 비용 함수를 직접 다룰 수 있다는 세 가지 장점을 강조한다. 향후 연구 과제로는 연료 감소 모델링, 비가우시안 오차 처리, 실시간 항법‑제어 연계 최적화, 그리고 다중 행성 어시스트와 같은 복합 미션 시나리오 확장이 제시된다.