2‑외평면 그래프에서 2⁄3 규모의 외평면 부분그래프 존재 증명 재구성

** 본 논문은 2‑외평면 그래프에서 큰 규모의 외평면 유도 부분그래프를 찾는 문제를 다룬다. 먼저, Alb­ertson‑Berman 추측(모든 n‑정점 평면 그래프는 최소 n⁄2 정점을 포함하는 포레스트를 가진다)과 그와 관련된 연구 동향을 소개한다. 기존 연구에서는 외평면 그래프가 포레스트보다 큰 비율(2⁄3)을 보장한다는 점을 이용해, 평면 그래프 전체에서 큰 포레스트를 찾는 전략을 모색하였다. 특히, 2‑외평면 그래프에 대해 Borradaile·Le·Sherman‑Bennett가 제시한 정리(모든 n‑정점 2‑외평면 그래프는 최소 2n⁄3 정점을 포함하는 외평면 부분그래프를 가진다)는 이 분야의 핵심 결과였다. 그러나 저자는 해당 정리의 증명에 중대한 결함이 있음을 발견한다. 그들의 알고리즘은 L₂(내부 레이어) 정점을 모두 포함하고, L₁(외부 레이어)에서 필요에 따라 정점을 삭제하는 방식으로 외평면 부분그래프를 구성한다. 이를 위해 각 L₂ 정점을 정확히 하나의 ‘삼중’에 배정하고, L₁ 정점을 차례로 제거하면서 삼중에 속한 L₂ 정점을 외부면에 노출시킨다. 이 과정에서 Lemma 3(‘고유 이웃을 가진 L₂ 정점들을 모두 포괄하는 매칭이 존재한다’)이 핵심 전제로 사용된다. 저자는 그림 2a에 제시된 11‑정점 2‑외평면 그래프를 통해 이 전략이 실패함을 입증한다. 이 그래프에서는 L₂에 속한 7개의 정점을 모두 포함하더라도, 외평면 부분그래프를 만들기 위해서는 L₁의 모든 정점을 포기해야 하므로 전체 정점의 7⁄11만을 차지한다. 7⁄11 < 2⁄3이므로, 원래 목표인 2n⁄3 비율을 달성할 수 없으며, 이 구조를 여러 번 복제하면 임의의 n에 대해 같은 비율을 유지하는 반례를 만들 수 있다(정리 4). 또한, Lemma 3의 증명 자체에도 논리적 결함이 있다. 저자는 L₂ 경계에 있는 ‘고유 이웃을 가진’ 정점들을 매칭으로 연결할 수 있다고 주장하지만, 실제 그래프에서는 이러한 정점들이 서로 인접하지 않아 매칭을 형성할 수 없는 경우가 존재한다. 더 나아가, 매칭을 찾기 위해 수행되는 정점 수축 단계에서 평행 에지와 루프가 생기고, 이를 제거하면 그래프가 내부 삼각화(internally‑triangulated) 속성을 잃는다. 내부 삼각화는 이후 단계(관찰 16, Lemma 1·2 등)의 전제 조건이므로, 이 과정에서 귀납적 논리가 붕괴한다. 이러한 문제점을 해결하기 위해 저자는 완전히 새로운 증명 방식을 제시한다. 핵심 단계는 다음과 같다. 1. **내부 삼각화 보강(Lemma 3)** 주어진 2‑외평면 그래프 G에 대해, 단계적(4단계)으로 간선을 추가하여 G를 내부 삼각화된 비연결성(biconnected) 그래프로 변형한다. 첫 단계에서는 외부 경계 W_G를 연결된 그래프로 만들고, 두 번째 단계에서는 이를 사이클로 만든다. 세 번째 단계에서는 내부 면에 L₁ 정점과 인접한 두 정점을 연결해 모든 L₁ 정점이 해당 면의 모든 경계 정점과 인접하도록 만든다. 마지막 단계에서는 4개 이상의 정점을 가진 내부 면에 추가 간선을 삽입해 완전 삼각화를 달성한다. 이 과정을 통해 G는 내부 삼각화된 비연결성 그래프가 된다. 2. **외평면 서브그래프의 합성(Observation 2)** 두 개의 외평면 서브그래프 G₁, G₂가 서로의 외부면에 완전히 포함되는 경우, G₁∪G₂ 역시 외평면이다. 이를 이용해 전체 그래프를 여러 개의 작은 외평면 블록으로 분할하고, 각 블록을 차례로 합성한다. 3. **블록‑컷버텍스 트리 분석** G의 블록‑컷버텍스 트리 T_G를 구성하고, 특히 L₂에 속한 블록들의 구조를 조사한다. 터미널 컴포넌트(K_c, K_d 등)를 식별하고, 각 터미널에 대해 ‘극단 리프’ 블록을 선택한다. 이러한 블록들은 외부면에 노출시키기에 적합한 정점 집합을 제공한다. 4. **정점 선택 규칙 및 비율 유지** 각 단계에서 선택되는 정점 집합은 최소 2⁄3 비율을 유지하도록 설계된다. 구체적으로, 내부 삼각화 단계에서 추가된 간선은 기존 정점 수를 증가시키지 않으며, 블록‑컷버텍스 트리에서 선택된 블록은 전체 정점 수 대비 적어도 절반 이상을 차지한다. 최종적으로, 선택된 정점 집합 I는 |I| ≥ 2n⁄3을 만족한다. 5. **외평면성 보장** 모든 선택 과정은 원래 임베딩을 제한하는 형태로 진행되므로, I가 유도하는 서브그래프 G