반복형 맥코믹 완화 기반 가변 임피던스 제어와 네트워크 토폴로지 최적화

본 논문은 전력계통 운영에서 가변 임피던스 장치(VID)와 네트워크 토폴로지 최적화(NTO)를 동시에 고려한 복합 최적화 문제를 제시한다. 기존 전력 흐름 모델에 VID가 도입되면 라인 임피던스가 가변값으로 변하고, 이는 DC 전력 흐름 방정식에 이중선형 항(Δb·Δθ)으로 나타난다. 또한, NTO를 위해 서브스테이션 내부 버스 분할·통합을 나타내는 이진 변수와 스위치·차단기 상태를 모델링해야 하므로 문제는 혼합정수비선형(MINLP) 형태가 된다. 이러한 비선형·이중선형 구조는 직접 해결하기 어렵고, 기존 연구에서는 제한된 제어 구간이나 단순 선형 근사만을 적용해 정확도 저하를 초래했다. 논문은 먼저 문제 정의를 상세히 제시한다. 목표 함수는 발전 비용(2차식)과 부하 차단 비용(VOLL)으로 구성되며, 제약식은 (1) DC 전력 흐름, (2) 노드‑브레이커 모델을 이용한 토폴로지 스위칭, (3) 발전·부하 연결 이진 변수, (4) 라인 용량 및 스위치 상태, (5) VID의 임피던스 변동 범위(±r·b̄)이다. 특히, 노드‑브레이커 모델은 버스바 1·2 사이 전압 각도 차이를 제어하고, 버스바가 병합될 경우 각도 차이를 0으로, 분리될 경우 θ_max 이하로 제한한다. 발전기와 부하도 각각 버스바 1·2에 연결될 수 있도록 이진 변수 h_g, h_d 로 표현한다. 라인 스위칭은 빅‑M 제약을 통해 라인 흐름과 스위치 상태를 연결하고, 라인 흐름 제한과 전압 각도 차이 제한을 동시에 만족하도록 설계되었다. 비선형성은 주로 VID에 의해 발생하는 Δb·Δθ 항에서 비롯된다. 이를 해결하기 위해 두 가지 선형화 기법을 도입한다. 첫 번째는 맥코믹 완화(McCormick relaxation)이다. Δb와 Δθ의 상·하한을 정의하고, 보조 변수 w=Δb·Δθ에 대해 네 개의 부등식(6a‑6d)으로 포락선을 만든다. 이 방법은 단일 단계에서 전체 구간을 한 번에 완화하므로 구간이 넓을 경우 근사 오차가 커진다. 두 번째는 SOS2 기반 2차원 조각선형 근사이다. Δb와 Δθ 구간을 각각 N_grid_b, N_grid_θ 개의 격자로 나누고, 연속 변수 λ와 SOS2 집합을 이용해 인접 두 격자점만 활성화되도록 함으로써 b·Δθ를 선형 조합으로 근사한다. SOS2는 정확도가 높지만, 이진 변수와 추가 연속 변수가 많이 도입돼 모델 크기가 급증하고 계산 시간이 크게 늘어난다. 논문은 맥코믹 완화의 정확도를 개선하기 위해 ‘반복형 맥코믹 완화’를 제안한다. 알고리즘 1은 초기 라인 임피던스 b̂를 기준으로 작은 단계 Δr(예: 0.05)만큼 허용 범위 r을 증가시키면서 매 단계마다 선형화된 모델을 풀고, 얻어진 Δb를 기존 b̂에 누적한다. 이렇게 하면 각 단계에서 사용되는 변수 구간이 좁아져 맥코믹 포락선이 실제 곡선에 더 가깝게 맞춰지며, 전체 최적화 과정에서 점진적으로 정확도가 향상된다. 최종 r_final은 0.5(50% 변동)까지 확대해 실제 운영 상황을 모사한다. 실험은 IEEE 300버스, 588버스, 1354버스, 1888버스 시스템에 대해 수행되었다. 각 시스템에서 라인 용량을 80%로 인위적으로 감소시켜 혼잡 상황을 만들고, VIDs의 변동 비율 r을 0~0.5까지 변화시켰다. 비용, 계산 시간, 비선형 기준 해와의 오차를 비교하였다. 결과는 다음과 같다. (1) 비용 측면에서 반복형 맥코믹은 r이 0.5일 때도 비선형 해와의 상대 오차가 0.1% 이하로 매우 근접했다. 원본 맥코믹은 r이 0.3 이상에서 0.5~0.7% 오차가 발생했다. (2) 계산 시간은 SOS2가 가장 오래 걸렸으며(최대 31초), 원본 맥코믹은 0.3초 수준으로 가장 빠른 편이었다. 반복형 맥코믹은 1~6초 사이로, 비선형 해법(≈12~32초)보다 현저히 빠르면서도 정확도는 비선형에 근접했다. (3) SOS2는 정확도 면에서는 비선형에 거의 일치했지만, 모델 크기와 계산 시간 증가가 큰 단점으로 드러났다. 따라서 반복형 맥코믹은 정확도와 효율성 사이에서 최적의 균형을 제공한다. 또한, 논문은 노드‑브레이커 모델을 통해 서브스테이션 내부 구조를 정밀히 모델링함으로써, 기존 연구에서 종종 간과되던 버스바 병합·분리 제약을 정확히 반영했다. 이와 함께 발전·부하 연결 이진 변수와 라인 스위칭 이진 변수를 통합해, 토폴로지 스위칭과 VID 제어를 하나의 MILP 프레임워크에 포함시켰다. 이러한 통합 모델링은 실제 전력계통 운영에서 토폴로지 재구성과 가변 임피던스 제어를 동시에 고려해야 하는 상황에 직접 적용 가능하도록 설계되었다. 결론적으로, 본 연구는 (1) 반복형 맥코믹 완화가 이중선형 항의 근사 정확도를 단계적 경계 축소로 크게 향상시킨다, (2) 선형·정수형 모델만으로도 비선형 최적해에 근접한 비용을 달성한다, (3) 계산 효율성 측면에서 SOS2보다 우수하며, (4) 복합 토폴로지·VID 제어 문제를 통합적으로 해결할 수 있는 실용적인 프레임워크를 제공한다는 점에서 전력계통 최적화 분야에 중요한 기여를 한다. 향후 연구에서는 실제 AC 전력 흐름 모델에 적용하거나, 실시간 운영 환경에서의 적용 가능성을 검증하는 방향으로 확장할 수 있다.