i.i.d. 행렬의 고유값은 하이퍼유니폼

본 논문은 독립이고 동일하게 분포된(entrywise i.i.d.) 실수·복소수 비에르미트 행렬 X∈ℂ^{N×N}의 고유값 집합이 하이퍼유니폼(point process)임을 엄밀히 증명한다. 하이퍼유니폼은 점 과정의 변동 억제 현상을 의미하며, 구체적으로는 임의의 유한 영역 Ω⊂ℂ에 대해 고유값 개수 N(Ω)의 분산이 영역 부피 |Ω|에 비해 차수 낮게 성장한다는 특성을 가진다. 기존 연구에서는 Ginibre 군집과 같은 determinantal point process에서만 이러한 억제 현상이 확인되었으며, 일반 i.i.d. 엔트리 행렬에 대해서는 아직 확립되지 않았다. 논문의 첫 번째 단계는 Girko의 Hermitization 기법을 도입하는 것이다. 행렬 X‑z에 대해 Hermitian 블록 행렬 H(z)=\(\begin{pmatrix}0 & X‑z\\ (X‑z)^{*} & 0\end{pmatrix}\) 를 정의하고, 그 resolvent G(z,w)=(H(z)‑wI)^{-1} 를 고려한다. 이때 고유값 분포는 G(z,w)의 트레이스와 복소 평면 상의 Cauchy‑integral을 통해 표현될 수 있다. 저자들은 두 복소 파라미터 z₁≠z₂에 대해 G(z₁)와 G(z₂) 사이의 공분산 Cov