가우시안 발산과 포인카레 원판 등거리 불변량

이 논문은 구면 제곱 헬링거 거리와 포인카레 원판 위의 초등거리 불변량 사이에 존재하는 기하학적 이중성을 체계적으로 탐구한다. 먼저, 두 확률측도 \(P\)와 \(Q\)에 대한 제곱 헬링거 거리 \(\Phi(P,Q)=\frac12\int_{\Omega}(\sqrt{p}-\sqrt{q})^{2}\) 를 정의하고, 이를 \(L^{2}\) 공간의 단위 구 \(S\) 위의 두 점 사이의 구면 거리 \(d_{S}(P,Q)\) 로 재해석한다. \(\sqrt{p},\sqrt{q}\)는 \(L^{2}\) 노름이 1인 벡터이므로, \(\cos d_{S}(P,Q)=\langle\sqrt{p},\sqrt{q}\rangle\) 가 성립하고, 결과적으로 \(\Phi(P,Q)=1-\cos d_{S}(P,Q)\) 라는 간단한 관계가 도출된다. 다음으로, 가우시안 분포의 파라미터 공간을 피셔 정보 계량으로 장식한 2차원 리만 다양체 \(M\) 를 고려한다. 이 다양체는 상수 곡률 \(K=-\frac12\) 를 갖는 초등공간과 동형이며, 두 가우시안 사이의 초등거리 \(d_{M}\)는 식 (5) 로 주어지며 \(\tanh^{-1}\) 함수를 포함한다. 그 후, 일반 모비우스 군 \(\mathrm{Mob}\) 가 복소 평면의 원을 원으로 보존하는 동형사상임을 이용해, 상반평면 \(W=\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Im}z>0\}\) 와 포인카레 원판 \(D=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}\) 사이의 전단사성을 구축한다. 모비우스 변환 \(\eta(z)=e^{i\theta}\frac{z-\kappa}{z-\overline{\kappa}}\) (식 (9)) 로 \(W\) 를 \(D\) 로 매핑하면, 초등거리 \(\Psi\) 가 식 (10) 형태로 나타난다. 구체적으로, \