비선형 충분 차원 축소를 위한 일반화된 슬라이스 역회귀의 수렴 속도 향상

본 논문은 비선형 충분 차원 축소(Nonlinear Sufficient Dimension Reduction, SDR) 분야에서 핵심적인 역할을 하는 일반화된 슬라이스 역회귀(Generalized Sliced Inverse Regression, GSIR)의 이론적 수렴 속도를 크게 향상시키는 연구이다. 기존 연구인 Li와 Song(2017)은 GSIR이 예측 변수의 차원 $p$와 무관하게 $n^{-1/4}$의 수렴 속도를 보인다고 증명했으며, 이는 고차원 데이터에서도 “차원의 저주”를 피할 수 있다는 점에서 큰 의미를 갖는다. 그러나 반세미파라메트릭 추정 문제에서는 무한 차원 교란 파라미터(예: 비모수 함수)의 추정 속도가 $n^{-1/4}$보다 빨라야 효율적인 추정과 정규성, 그리고 최적화된 asymptotic variance를 달성할 수 있다. 따라서 GSIR의 수렴 속도를 $n^{-1/3}$ 수준으로 끌어올리는 것이 이론과 실무 모두에 중요한 과제로 대두된다. 논문은 두 가지 추가적인 가정을 도입한다. 첫 번째는 GSIR에서 핵심 연산인 조건부 평균 연산자 혹은 커널 공분산 연산자의 고유값이 일정한 감쇠율을 보인다는 가정이다. 구체적으로 고유값 $\lambda_k$가 $\lambda_k \asymp k^{-\alpha}$ 형태로 감소한다는 가정이며, 여기서 $\alpha>1$이면 고차원 성분이 급격히 사라져 저차원 근사에 대한 오차가 크게 감소한다. 두 번째 가정은 회귀 함수 $E