약한 오메가 범주에서 가역성을 위한 타입 이론

이 논문은 약한 ω‑범주를 형식화하기 위해 기존의 종속 타입 이론 CaTT에 가역성 구조를 내재화한 확장 이론 ICaTT를 제안한다. 먼저 CaTT의 구문을 간략히 소개한다. CaTT는 변수, 타입 ★와 화살표 타입 u → v, 그리고 “coh”라는 고차 연산자를 통해 셀들의 합성 및 동등성을 기술한다. 컨텍스트는 변수와 화살표를 그래프 형태로 나타내며, “full” 타입을 통해 과거핑 다이어그램을 정의한다. 중요한 메타 연산인 suspension(Σ)은 컨텍스트와 타입을 차원 하나씩 올려 고차원 셀을 생성하는 역할을 한다. 이를 이용해 디스크 Dₙ와 구 Sₙ와 같은 기본 구문 객체를 정의하고, 타입·셀과의 자연스러운 동형을 보인다. 다음으로 약한 ω‑범주의 모델을 클랜(clan) 이론을 통해 정의한다. 클랜은 디스플레이 맵을 가진 범주이며, CaTT의 구문 범주 S_T는 클랜 구조를 갖는다. 모델은 S_T에서 Set으로 가는 디스플레이 맵 보존 함자이며, 이는 약한 ω‑범주와 동등함을 보인다. 셀은 Dₙ에 대한 원소로, source·target 함수는 Dₙ+1 → Dₙ에 대응하는 치환을 통해 정의된다. ICaTT의 핵심은 새로운 타입 Inv(t)이다. Inv(t)는 셀 t가 가역임을 코인덕티브하게 증명하는 데이터를 포함한다. 구체적으로 역셀 t⁻¹, 좌·우 단위 2‑셀 t lunit, t runit, 그리고 이들에 대한 다시 가역성 구조를 재귀적으로 제공한다. 파괴자와 생성자를 통해 이러한 구조를 조작할 수 있으며, β/η 규칙을 그대로 유지한다. 논문은 중요한 서브클래스에 대해 정규화가 성립함을 증명하고, 이를 기반으로 기본적인 가역성 정리를 형식화한다. 구현 부분에서는 Agda‑like 프로토타입을 제공해, 기존 CaTT에서는 불가능했던 가역성 관련 정리를 최소한의 코드로 증명한다. 예를 들어, 역셀의 합성 보존, 단위 셀과의 교환 법칙, 그리고 가역성 구조의 전단사성 등을 자동 검증한다. 의미론적 측면에서는 ICaTT 모델을 “표시된 약한 ω‑범주”(marked weak ω‑category)로 해석한다. 각 셀에 대한 Inv 구조를 마크드 셀로 간주하고, 마크드 구조가 fibrant 조건을 만족하도록 설계한다. 이를 통해 ICaTT의 구문적 증명은 약한 ω‑범주 내에서 weak equivalence와 equifibration을 기술하는 사상 집합으로 전이된다. 특히, “걷는 동등성”(walking equivalence)이라는 기본 객체를 ICaTT 컨텍스트로 재구성함으로써, Fujii 등(17)이 제시한 등가성 특성화에 필요한 핵심 사상을 타입 이론 수준에서 직접 제공한다. 또한, ICaTT가 CaTT 위에 보존적 확장임을 증명하고, 구문 카테고리 사이의 포함이 완전 충실(full faithful)함을 보인다. 이는 기존 CaTT의 모든 결과가 그대로 유지되면서 가역성에 대한 새로운 추론 능력이 추가된다는 의미이다. 마지막으로, 논문은 마크드 약한 ω‑범주의 정의를 일반화하고, ICaTT 모델을 이러한 구조에 사상함으로써 “fibrant marked ω‑category”를 자동으로 구축한다. 이는 형식화와 의미론을 일관되게 연결하는 중요한 진전이며, 향후 약한 ω‑범주의 모델 구조 구축에 필수적인 도구가 될 것으로 기대된다.