일반화 지수 커널을 이용한 비모수 밀도 추정

본 논문은 양의 연속형 데이터를 위한 비대칭 커널 밀도 추정기의 설계와 이론적 특성을 체계적으로 다룬다. 서론에서는 전통적인 대칭 커널이 음수 영역에 비정상적인 확률을 할당함으로써 발생하는 “boundary bias” 문제를 제시하고, 기존의 해결책으로 감마 커널, 역가우시안(IG), 역역가우시안(RIG) 등 다양한 비대칭 커널이 소개된다. 그러나 감마 커널은 감마 함수와 같은 특수 함수를 필요로 하여 구현이 복잡하고, 다른 커널들은 형태적 유연성에서 제한이 있다. 이에 저자들은 일반화 지수(Generalised Exponential, GE) 분포를 기반으로 새로운 커널을 정의한다. GE 분포의 밀도는 \(K_{GE}(\alpha,\lambda)(z)=\alpha\lambda(1-e^{-\lambda z})^{\alpha-1}e^{-\lambda z},\;z>0\) 이며, α>1일 때 단봉형을 갖는다. 이 특성을 이용해 두 종류의 GE KDE를 제안한다. 첫 번째는 파라미터를 \(\alpha=e^{x/b}\), \(\lambda=1/b\) 로 설정해 \(\hat f_{GE}(x)=\frac1n\sum_{i=1}^n K_{GE}(e^{x/b},b)(X_i)\) 형태를 만든다. 여기서 b는 밴드폭이며, x/b→∞(내부)와 x/b→c(경계) 두 경우에 대해 편향과 분산을 상세히 전개한다. 편향 분석에서는 기대값 μₓ와 분산 Var(ζₓ)를 구하고, 테일러 전개를 통해 \(\text{Bias}=b\gamma f'(x)+\frac12(\gamma^2+\pi^2/6)b^2 f''(x)+o(b^2)\) (내부)와 \(\text{Bias}=b