블록 경험적 가능도 기반 종단 일반화 부분선형 단일지수 모델 추정 및 검정

1. 서론 종단 및 군집 데이터는 반복 측정으로 인한 군내 상관이 존재한다. 기존 GEE와 QIF는 작업 상관을 이용해 효율성을 높이지만, 샌드위치 분산 추정이 군수가 적을 때 불안정하고, 비정형 링크 함수가 포함된 반응 모델에서는 추정 오차가 파라미터 추론에 2차 영향을 미친다. 이러한 배경에서 저자들은 GPLSIM이라는 반응 구조를 선택한다. GPLSIM은 선형 부분(β)과 단일 지수 부분(α·z)·비정형 링크 η₀(·)를 결합해 고차원 공변량을 저차원 지수로 압축하면서도 해석 가능성을 유지한다. 2. 모델 정의 및 제약 반응 Y_{ij}의 평균 μ_{ij}=E(Y_{ij}|x_{ij},z_{ij})에 대해 g(μ_{ij})=x_{ij}ᵗβ₀+η₀(z_{ij}ᵗα₀) 로 정의한다. α₀는 스케일 식별을 위해 ‖α₀‖=1, α_{0,1}>0 로 제한한다. 이를 φ∈ℝ^{q−1} 로 재파라미터화해 θ=(βᵗ,φᵗ)ᵗ∈ℝ^{d}, d=p+q−1 로 만든다. 3. 스플라인 사일 근사 η₀(u)를 K개의 큐비크 B‑스플라인 기저 B(u)와 계수 γ∈ℝ^{K} 로 근사한다. K는 n에 비해 느리게 증가하도록 선택한다(예: K≈n^{1/5}). 사일 근사는 편향 O(K^{-s})와 분산 O(K/n) 를 동시에 제어한다. 4. 프로파일 추정 방정식 작업 공분산 V_i(θ,γ)=A_i^{1/2}R_i(ρ)A_i^{1/2} 를 정의하고, 내부 추정 방정식 (8) 로 γ̂(θ)를 구한다. 이는 일반화 선형 모델의 오프셋 형태이므로 IRLS 로 빠르게 수렴한다. γ̂(θ)를 대입해 프로파일 평균 μ̂_i(θ)와 공분산 V̂_i(θ)를 만든 뒤, 외부 추정 방정식 (9) 로 θ̂ 를 얻는다. G_i(θ)=∂μ̂_i/∂θᵗ 은 직접 미분과 암묵함수 정리를 결합해 계산한다. 5. 블록 경험적 가능도 (BEL) 구성 각 군 i에 대해 g_i(θ)=G_i(θ)ᵗV̂_i(θ)^{-1}