수직 구배 동결 공정의 두 단계 스테판 문제를 위한 모델 기반 추적 제어

본 논문은 수직 구배 동결(VGF) 공정에서 반도체 결정 성장 품질을 좌우하는 핵심 변수인 고체‑액체 상 경계의 위치와 성장 속도를 정확히 제어하기 위해, 두 단계 스테판 문제를 모델링하고 제어·관측기를 설계한다. 1. **모델링** - 원통형 용기를 1‑차원 열전달 모델로 단순화하고, 방사형 대칭성을 이용해 각도 ϕ를 평균화한다. - 고체와 액체 영역을 각각 상수 열전도도(k_s, k_l)와 확산계수(α_s, α_l)를 갖는 선형 열방정식으로 기술한다. - 경계 이동은 스테판 조건 ρ_m L·γ̇ = k_s∂zT_s|_{γ} − k_l∂zT_l|_{γ} 로 연결되며, 시스템 상태는 온도 분포 T(z,t)와 경계 위치 γ(t) 로 정의된다. 2. **전방(Feedforward) 제어 설계** - 좌표 변환 ˜z = z − γ(t) 로 경계가 원점에 고정된 이동 좌표계를 도입한다. - 온도 프로파일 ˜T(˜z,t) 를 멱급수 ˜T = Σ c_i(t) ˜z^i / i! 로 전개하고, PDE에 대입해 계수 재귀식 c_{i+2}= (1/α)(ċ_i − γ̇ c_{i+1}) 를 얻는다. - 초기 계수 c_0 = T_m, c_1 = ∂˜z˜T(0,t) 로부터 평탄 출력 y =