계층적 기저를 이용한 고속 라디얼 기저 함수 보간 해법

본 논문은 라디얼 기저 함수(RBF) 보간 문제를 효율적으로 해결하기 위해, 삽입 노드와 커널에 적응적인 이산 계층적 기저(Hierarchical Basis, HB)를 설계하고 이를 이용한 새로운 솔버 프레임워크를 제시한다. 전통적인 RBF 보간은 N개의 데이터 포인트에 대해 시스템 행렬 K와 다항식 행렬 Q를 결합한 (N + M) × (N + M) 크기의 선형 시스템을 풀어야 하며, 직접 해법은 O(N³) 연산과 O(N²) 메모리를 요구한다. 또한, 많은 실용적인 커널(예: biharmonic spline, multiquadric)은 전역적인 지원을 가지며, 행렬이 매우 ill‑conditioned 하여 반복법에서도 수렴이 어려운 경우가 많다. 이를 극복하기 위해 저자들은 다음과 같은 핵심 아이디어를 제시한다. 1. **계층적 도메인 분해와 다중해상도 구조** - 전체 공간을 옥트리(3차원) 혹은 이진 트리(1차원) 형태의 정육면체 셀로 재귀적으로 분할한다. 각 레벨은 점들의 밀도에 따라 자동으로 조정되며, 이는 노드 배치에 대한 적응성을 제공한다. - 각 셀에 대해 로컬 다항식 기저와 스케일링 함수를 정의하고, 이를 이용해 다중해상도 HB를 구축한다. 2. **다항식 직교 변환 행렬 P =