그래프 곱의 구간 엣지 색칠 연구

본 논문은 구간 색칠이 가능한 그래프들의 다양한 곱 연산에 대한 존재 여부와 색상 수의 상·하한을 포괄적으로 연구한다. 먼저 구간 t‑색칠의 정의와 기본적인 성질을 정리하고, Asratian·Kamalian이 제시한 정규 그래프에 대한 핵심 정리(χ′(G)=Δ(G) ⇔ G∈N)를 기반으로 전반적인 이론적 틀을 마련한다. 이어서 그래프의 직경과 최대 차수에 의존하는 일반적인 상한 W(G)≤1+(diam(G)+1)(Δ(G)−1)와, 이항 그래프에 대한 특수한 결과들을 인용한다. **1. 카르테시안 곱(G□H)** Giaro·Kubale(1997)의 초기 결과를 확장하여, G와 H가 모두 N에 속하면 G□H도 N에 속함을 보인다. 기존 하한 W(G□H)≥W(G)+W(H) 를 개선하기 위해, H가 r‑정규 그래프일 경우 W(G□H)≥W(G)+W(H)+r·Δ(H) 라는 새로운 식을 제시한다. 이를 통해 정규 그래프들의 다중 카르테시안 곱에 대한 정확한 색상 수를 추정할 수 있다. 특히 n‑차원 하이퍼큐브 Qₙ에 대해 W(Qₙ)=2n+1임을 재확인하고, 이는 Theorem 2의 상한과 일치한다. **2. 텐서 곱(G×H)** Giaro·Kubale는 G×H가 N에 속하지 않을 수도 있음을 보였지만, Petrosyan은 “한 인자가 N에 속하고 다른 인자가 정규이면 G×H∈N”임을 증명한다. 색상 수에 대해서는 W(G×H)≥W(G)+r·W(H) (r은 H의 정규 차수) 라는 하한을 얻는다. 또한 Sylvester 그래프 S와 삼각형 C₃를 이용해, 두 그래프 모두 N에 속하지 않음에도 불구하고 S×C₃∈N인 사례를 제시하며, 이는 Problem 1에 대한 부분적인 답변이 된다. **3. 강한 텐서 곱(G⊗H)** 텐서 곱과 동일한 구조적 결과가 적용된다. 정규 그래프와 N에 속하는 그래프의 강한 텐서 곱은 N에 속하고, 색상 수는 W(G⊗H)≥W(G)+r·W(H) 로 하한이 잡힌다. Sylvester 그래프와 삼각형을 다시 사용해, N에 속하지 않는 두 그래프의 강한 텐서 곱이 N에 속함을 보여 Problem 2를 제시한다. **4. 강한 곱(G⨂H)** Giaro·Kubale는 G⨂H가 N에 속하지 않을 수 있음을 언급했으며, Petrosyan은 “한 인자가 N에 속하고 다른 인자가 정규이면 G⨂H∈N”이라는 충분조건을 제시한다. 색상 수에 대한 하한은 W(G⨂H)≥W(G)+r·W(H)+r·Δ(G)·Δ(H) 로, 정규 차수와 최대 차수가 모두 반영된 형태이다. 특히 정규 그래프와 완전 그래프 Kₙ의 강한 곱에 대해, 기존에 알려진 상한과 거의 일치하는 하한을 도출한다. **5. 렉시코그래픽 곱(G