안정적인 영속성 B스플라인 그리드: 영속도 다이어그램의 벡터 표현

본 논문은 영속성 동역학(Persistent Homology)에서 도출되는 영속도 다이어그램(Persistence Diagram, PD)을 머신러닝 모델에 바로 입력할 수 있는 고정 차원의 벡터로 변환하는 새로운 방법인 Persistence B‑Spline Grid(PBSG)를 제안한다. 기존 연구들은 PD를 직접 거리(metric) 기반으로 비교하거나, Persistence Image, Persistence Landscape, 다양한 커널 기반 방법 등으로 벡터화했지만, 각각 정보 손실, 계산 복잡도, 혹은 안정성 제한 등의 문제점을 가지고 있었다. 저자들은 이러한 한계를 극복하기 위해 데이터 피팅 관점에서 PD를 B‑스플라인 함수로 근사하고, 그 제어 격자(control grid) 값을 그대로 벡터로 활용한다는 아이디어를 제시한다. 1. **배경 및 관련 연구** - 영속성 동역학은 데이터 포인트 클라우드에 대해 Vietoris‑Rips 필터링을 수행해 각 차원의 호몰로지 클래스가 언제 생성(birth)하고 소멸(death)하는지를 기록한다. 이 birth‑death 쌍을 2차원 평면에 나타낸 것이 PD이며, PD 간 유사도는 Bottleneck 거리와 p‑워셔스테인 거리로 정의된다. - 기존 벡터화 방법으로는 (a) **Persistence Image (PI)**: Gaussian 커널을 이용해 PD를 이미지화하고 픽셀값을 벡터화, (b) **Persistence Landscape (PL)**: 다중 레벨 함수로 변환, (c) **Kernel 기반**: Persistence Scale‑Space Kernel, Weighted Gaussian Kernel, Sliced Wasserstein Kernel 등, (d) **Bag‑of‑Words** 방식 등이 있다. 이들 방법은 각각 1‑워셔스테인 안정성을 보장하지만, 고차원 p‑워셔스테인 거리에서는 안정성이 약하거나, 디스크리트화 과정에서 정보 손실이 발생한다. 2. **PBSG 프레임워크** - **좌표 변환**: PD의 (birth, death) 좌표를 (birth, persistence) 형태로 변환하고, 전체 데이터셋에서 최대 범위 m과 최소 birth c를 이용해 \(\phi(x,y)=((x-c)/m, (y-x)/m)\) 로 정규화한다. 이렇게 하면 모든 점이 \(