컨볼루션 대칭과 적분 모델의 타우함수

논문은 먼저 KP와 2‑KP‑Toda 계층의 해를 기술하는 τ‑함수의 구조를 복습한다. τ‑함수는 무한 개의 흐름 변수 t = (t₁,t₂,…)와 격자 변수 N에 의존하며, Schur 함수 s_λ(t)의 선형 결합으로 전개된다. 이때 계수 π_N(λ)와 B_N(λ,μ)는 각각 단일 및 이중 Schur 전개의 플러커 좌표이며, 이는 Hilbert space ℋ = L²(S¹) 위의 그라스만 다양체 Gr_{ℋ_+}(ℋ)와 연관된 서브스페이스 W의 이미지 P(W) ∈ ℙ(ℱ) 로 해석된다. 핵심 아이디어는 ℋ의 표준 단조 기저에 대해 Fourier 계수 {ρ_i} 로 정의되는 함수 ρ(z) = ∑ ρ_i z^i 에 대한 일반화된 컨볼루션 연산 C_ρ를 도입하는 것이다. C_ρ는 각 기저 성분을 ρ_i 로 곱하는 대각 연산이며, Gr_{ℋ_+}(ℋ)의 점 W에 작용해 새로운 점 C_ρ(W) 를 만든다. 이 변환은 플러커 좌표를 r_λ(N) = c_ρ(N)∏_{(i,j)∈λ}ρ_{N‑i+j} 로 스케일링한다. 여기서 c_ρ(N)=∏_{i=1}^∞ ρ_{N‑i} ρ_{‑i} 이며, (i,j)∈λ는 파티션 λ의 Young 도표 셀을 의미한다. 따라서 τ‑함수는 \