포트‑해밀토니안 미분대수식 시스템을 위한 구조 보존 보간 모델 축소

본 논문은 포트‑해밀토니안 미분대수식(pHDAE) 시스템의 구조적 특성을 보존하면서 효율적인 차원 축소를 수행하는 새로운 인터폴레이션 기반 방법론을 제시한다. 서론에서는 pH 시스템이 에너지 흐름, 보존·소산, 패시비티와 같은 물리적 특성을 매트릭스 형태(J, R, E, B, P, S, N)로 직접 인코딩한다는 점을 강조하고, 대규모 모델링 도구(Modelica, Simulink 등)에서 자동 생성되는 모델이 종종 중복·제약을 포함해 비정규(pencil이 singular) 형태가 되므로 정규화가 필수적임을 지적한다. 2절에서는 일반 선형 DAE \(E\dot{x}=Ax+Bu,\;y=Cx+Du\) 의 기본 개념을 복습하고, 정규성, 인덱스, Weierstrass 정규형, 강제 제어성·관측성 조건(C1‑C2, O1‑O2)을 소개한다. 특히, pHDAE는 J가 반대칭, R이 양정치, E가 반양정치이며, 패시비티 매트릭스 \(W=\begin{bmatrix}R&P\\P^T&S\end{bmatrix}\) 가 양정치라는 추가 제약을 갖는다. 3절에서는 pHDAE의 정규화 절차를 상세히 전개한다. 공통 영공간(nullspace) \(\mathcal{N}(E)\cap\mathcal{N}(J)\cap\mathcal{N}(R)\) 를 직교 변환 V₁을 통해 분리하고, 블록 대각 형태(3) 로 변환한다. 여기서 첫 번째 블록은 동적 부분, 두 번째와 세 번째 블록은 각각 인덱스‑1·2 제약을 나타낸다. Lemma 1·2 를 통해 변환 후에도 패시비티 매트릭스가 반대칭·양정치를 유지함을 보이고, 필요 시 출력 피드백 K를 적용해 폐루프 시스템을 정규화한다. 4절은 인터폴레이션 기반 차원 축소의 핵심 아이디어를 제시한다. 원 전이함수 \(H(s)=C(sE-A)^{-1}B+D\) 를 유한극을 갖는 유리함수 G(s) 와 다항식 P(s) 로 분리하고, 인터폴레이션은 G(s) 에만 적용한다. 이를 위해 Krylov 서브스페이스 \(\mathcal{K}_k(A,E,B)\) 와 \(\mathcal{K}_k(A^T,E^T,C^T)\) 를 동시에 만족하는 직교 기저 V를 구성한다. 축소된 매트릭스 \(\tilde{E}=V^TEV,\;\tilde{J}=V^TJV,\;\tilde{R}=V^TRV,\;\tilde{B}=V^TB,\;\tilde{P}=V^TP\) 은 원 시스템과 동일한 구조적 성질을 갖는다(대칭·반대칭·양정치). 결과적으로 축소 모델 (6)은 pHDAE 정의를 그대로 만족한다. 5절에서는 효과적인 인터폴레이션 데이터(샘플 주파수 Σ와 접선 방향)를 자동으로 생성하는 알고리즘을 제안한다. 알고리즘은 (i) 시스템 고유값을 추정해 그 근처에 샘플을 배치, (ii) 저주파·고주파 영역을 균등히 커버, (iii) 입력·출력 매트릭스의 스팬을 이용해 접선 방향을 선택한다. 이렇게 하면 다항식 부분 P(s) 가 정확히 보존되고, 인터폴레이션 오차가 최소화된다. 마지막으로 두 개의 수치 실험을 제시한다. 첫 번째는 전기·기계 복합 시스템(인덱스‑2 DAE)으로, 원 모델 차원 n≈10⁴, 축소 차원 r≈50을 목표로 했다. 제안 방법은 전이함수 상대 오류 10⁻⁴ 수준을 달성했으며, 제약 위반이 전혀 없었다. 두 번째는 열유체 흐름 모델(인덱스‑1 DAE)로, 기존 무구조 보간 방법 대비 2배 이상의 정확도를 보였고, 시뮬레이션 시간도 70 % 이상 감소했다. 결론에서는 본 연구가 (1) pHDAE의 구조를 정규화 단계에서 완전히 활용, (2) 인터폴레이션 데이터 선택을 이론적으로 정당화, (3) 보간 기반 차원 축소가 패시비티와 제약을 동시에 보존하도록 설계한 점에서 기존 연구와 차별화된다고 강조한다. 향후 연구 방향으로는 비선형 pHDAE, 파라미터 변동 모델, 실시간 제어를 위한 온라인 업데이트 기법 등을 제시한다.