Koopman 모드 분해를 이용한 비선형 시스템 참여인자 데이터‑드리븐 계산

본 논문은 전력 시스템을 포함한 다양한 비선형 동적 시스템에서 모드‑인‑스테이트와 스테이트‑인‑모드 참여인자를 데이터 기반으로 계산하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 서론에서는 참여인자가 전력 시스템 안정성 분석, 모델 축소, PSS 배치 등에 핵심적인 역할을 함을 강조하고, 기존의 선형화 기반 방법이 비선형 현상을 충분히 포착하지 못한다는 한계를 지적한다. 특히, Lesieutre 등의 비선형 변환 접근법, Vittel 등의 정규형 방법, Pariz 등의 모달 시리즈 방법이 계산 복잡도와 적용 범위에서 제약을 가진다는 점을 언급한다. 이후, 선형 시스템에서의 전통적 참여인자 정의(모드‑인‑스테이트 pᵢⱼ = vᵢⱼ uᵢⱼ, 스테이트‑인‑모드 pᵢⱼ = vᵢⱼ uᵢⱼ)와 Hashlamoun 등이 제안한 확률적 정의(기대값을 이용한 평균화)를 정리한다. 이러한 배경 위에 Koopman 연산자를 도입한다. Koopman 연산자는 비선형 흐름을 함수 공간에서 선형 연산으로 변환하며, 고유값 µⱼ와 고유함수 ϕⱼ를 통해 관측 함수 g(xₖ)를 ϕⱼ와 모드 φⱼ의 선형 결합으로 표현한다(식 17). 이때 고유함수는 시스템 상태와 무관하게 정의되므로 비선형 효과를 정확히 반영한다. 데이터 기반 구현을 위해 확장 동적 모드 분해(EDMD)를 채택한다. 스냅샷 행렬 X와 X′, 그리고 관측 함수 벡터 γ(x) 를 이용해 근사 Koopman 연산자 K = ΓX′ ΓX† 를 계산한다(식 20). K의 고유값·고유벡터를 통해 고유함수 ϕ와 모드 φ를 추정하고, 전체 상태를 B γ(x) 로 복원함으로써 식 (24)의 형태로 시스템 동작을 재구성한다. 핵심 기여는 정의 6과 7에서 제시된 비선형 참여인자 식이다. 모드‑인‑스테이트 참여인자는 pᵢⱼ = ξᵢⱼ φᵢⱼ + Σ_{r≠i} ξᵣⱼ φᵢⱼ E