시간변화 불확실성에 대한 적응형 MPC 강인 및 확률적 접근

본 논문은 시간에 따라 변하는 불확실성을 포함한 선형 시스템에 대해 적응형 모델 예측 제어(Adaptive Model Predictive Control, AMPC)를 설계하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 시스템은 x_{t+1}=Ax_t+Bu_t+Eθ_a^t+w_t 로 모델링되며, 여기서 w_t는 알려진 경계와 확률 분포를 갖는 프로세스 노이즈이고, θ_a^t는 알려진 다면체 Ω 안에 존재하지만 시간에 따라 변하는 오프셋 파라미터이다. 오프셋의 변화율은 K_θΔθ_a≤l_θ 로 정의된 집합 P 로 제한된다. 이러한 가정 하에 저자는 두 단계의 핵심 기법을 개발한다. 첫 번째는 Set Membership 기반의 파라미터 적응 메커니즘이다. 매 시간 단계에서 측정된 상태 x_t와 입력 u_{t-1}을 이용해 가능한 오프셋 집합 S_{q}^{t} 를 정의하고, 이전까지 축적된 모든 정보와 초기 집합 Ω 를 교집합하여 현재 가능한 파라미터 집합 Θ_t 를 얻는다. Θ_t는 다면체 형태로 표현되며, H_θ^t θ ≤ h_θ^t 로 나타난다. 정리 1에 의해 Θ_t는 언제나 비공집합이며 실제 오프셋을 포함한다는 것이 증명된다. 이 과정은 매 시간마다 새로운 부등식(8)을 추가함으로써 Θ_t를 점진적으로 축소한다. 두 번째는 이 적응된 파라미터 집합을 활용한 MPC 설계이다. 논문은 두 종류의 제약을 고려한다. (i) 강인 제약: 상태에 대한 선형 제약 Cx+Du≤b 를 모든 가능한 θ∈Θ_t와 모든 노이즈 w∈W 에 대해 만족하도록 설계한다. (ii) 확률적(Chance) 제약: 상태에 대한 확률적 제약 P(Gx≤h)≥1−α 를 만족시키면서 입력에 대한 하드 제약 H_u u ≤ h_u 를 유지한다. 두 경우 모두 입력에 대한 하드 제약은 그대로 적용한다. MPC 문제는 유한 예측 호라이즌 N 에 대해 재귀적으로 해결된다. 강인 MPC는 (9)식에 따라 명시적인 비용 ℓ(·)와 종단 비용 Q(·)를 최소화하면서, 예측 단계마다 x_{k+1|t}=Ax_{k|t}+Bu_{k|t}+Eθ_{k|t}+w_{k|t} 와 명시적인 제약을 만족하도록 한다. 여기서 θ_{k|t}는 현재 FPS Θ_t 를 기반으로 예측된 파라미터 집합 Θ_{k|t} 로 대체된다. 종단 조건으로는 불변 집합 X_R^N 와 터미널 비용 Q 를 사용해 재귀적 실현 가능성과 입력‑상태 안정성(ISS)를 보장한다. 정리 2와 정리 3을 통해 예측 FPS는 시간 진행에 따라 수축(Θ_{k|t+1}⊆Θ_{k|t})함을 보이며, 이는 제어 설계의 보수성을 강화한다. 제어 정책은 전통적인 선형 피드백 형태 u_{k|t}=∑_{j=t}^{k-1}M_{k,j|t}(w_{j|t}+Eθ_{j|t})+v_{k|t} 로 파라미터화한다. 최적화 변수는 피드백 행렬 M과 보조 입력 v이며, 이는 제한된 차원으로 문제를 변환한다. 이를 통해 원래 무한 차원의 피드백 함수를 탐색하는 비현실적인 문제를 회피한다. 확률적 MPC는 강인 MPC와 동일한 구조를 유지하되, 상태 제약을 확률적 형태로 변환한다. 구체적으로, 각 예측 단계에서 Gx_{k|t}≤h 를 만족할 확률이 1−α 이상이 되도록, 노이즈 w의 분포와 파라미터 집합 Θ_{k|t} 를 이용해 보수적인 선형 경계(예: Chebyshev 부등식 또는 샘플 기반 경계)를 도출한다. 이렇게 얻은 선형 제약을 기존 강인 MPC 제약에 삽입함으로써, 확률적 제약을 만족하는 최적화 문제를 풀 수 있다. 알고리즘 흐름은 다음과 같다. (1) 현재 상태 x_t 측정, (2) Set Membership 방법으로 FPS Θ_t 업데이트, (3) 예측 호라이즌 N 에 대해 Θ_{k|t} 생성, (4) 강인/확률적 MPC 최적화 문제 해결, (5) 첫 번째 입력 u_t 적용, (6) t←t+1 로 반복한다. 정리 4와 정리 5에서는 각각 강인 및 확률적 MPC에 대해 재귀적 실현 가능성과 ISS를 증명한다. 특히, 종단 비용 Q와 불변 집합 X_R^N 은 시스템 행렬 (A,B)와 제약 행렬 (C,D,G,H_u) 에 따라 설계되며, 이를 통해 무한 시간 동안 안정적인 동작을 보장한다. 수치 실험에서는 2차원 선형 시스템을 대상으로 두 시나리오를 검증한다. 첫 번째 시나리오에서는 강인 제약만을 적용하고, FPS가 초기 Ω 에서 시작해 측정 데이터가 누적될수록 급격히 축소되는 과정을 보여준다. 결과적으로 제어 입력은 초기 보수적인 값에서 점차 최적에 가까워지며, 제약 위반이 전혀 발생하지 않는다. 두 번째 시나리오에서는 확률적 제약(α=0.05)을 적용한다. 여기서도 FPS 축소가 진행되며, 평균 비용은 강인 MPC보다 낮지만 실제 위반 확률은 설정된 α 이하로 유지된다. 두 경우 모두 시뮬레이션 시간 1000 스텝 동안 재귀적 실현 가능성이 유지되고, 상태는 유계(ISS) 특성을 보인다. 결론적으로, 본 논문은 (1) 시간변화 오프셋 불확실성을 실시간으로 추정하는 집합 멤버십 기반 적응 메커니즘, (2) 이 추정 정보를 직접 MPC 제약에 반영하여 강인 및 확률적 제약을 동시에 만족하는 적응형 MPC 설계, (3) 적절한 종단 조건을 통해 재귀적 실현 가능성과 입력‑상태 안정성을 이론적으로 보장, (4) 수치 예제로 실효성을 검증한다는 네 가지 주요 기여를 제시한다. 이는 기존 적응형 MPC가 강인 제약에만 초점을 맞추거나 파라미터 변화를 정적이라고 가정하던 한계를 넘어, 실제 시스템에서 시간변화 불확실성을 다루는 실용적인 프레임워크를 제공한다는 점에서 학술적·실무적 의미가 크다.