임베디드 MPC를 위한 효율적인 경계 변수 비선형 최소제곱 알고리즘

본 논문은 임베디드 시스템에서 모델 예측 제어(MPC)를 실시간으로 구현할 때 발생하는 두 가지 핵심 문제—문제 구성 단계의 높은 연산 비용과 제한된 메모리 자원—를 동시에 해결하는 새로운 알고리즘적 프레임워크를 제안한다. 전통적인 MPC는 매 제어 주기마다 예측 모델, 가중치, 호라이즌, 제약조건 등을 기반으로 QP 또는 NLP 형태의 최적화 문제를 새로 구성하고, 이를 외부 솔버에 전달한다. 특히 파라미터가 시간에 따라 변하거나 비선형 모델을 현재 작동점에서 선형화해야 하는 경우, 행렬·벡터를 재구성하는 데 드는 연산량이 솔버 자체의 연산량과 맞먹어 실시간 적용이 어려워진다. 저자들은 이러한 병목을 근본적으로 없애기 위해, MPC 파라미터를 “추상 연산자” 형태로 정의한다. 구체적으로, 모델 방정식 M(Y_k,U_k,S_k)=0과 비용 함수의 가중치 행렬 W_k를 함수 형태로 표현하고, 최적화 알고리즘 내부에서 이 함수들을 직접 호출해 필요한 행렬·벡터 연산을 수행한다. 이렇게 하면 파라미터가 변해도 행렬을 물리적으로 재구성할 필요가 없으며, 메모리 사용량을 최소화하고 캐시 효율성을 높일 수 있다. 다음으로, 평등 제약을 quadratic penalty 형태로 변환하고, 이를 포함한 전체 비용을 sum‑of‑squares 형태의 residual r(z)로 재정의한다. 즉, 원래의 제약식 h_k(z,φ_k)=0을 ½‖√ρ·h_k(z,φ_k)‖² 형태의 penalty term으로 대체하고, 최종 목표는 min_{p≤z≤q} ½‖r(z)‖² 와 같은 box‑constrained nonlinear least‑squares(NLLS‑box) 문제로 변환하는 것이다. 이 변환은 (1) 항상 feasible한 문제를 만든다, (2) 추가 슬랙 변수 없이도 부드러운 제약 위반을 허용한다, (3) 라그랑주 승수나 이중 변수 관리가 필요 없으므로 구현이 단순해진다, (4) 활성‑집합(active‑set) 기반 제한 변수 알고리즘에 바로 적용할 수 있다, (5) Maratos 효과와 같은 수렴 저해 현상을 자연스럽게 회피한다는 장점을 제공한다. 알고리즘은 기존의 활성‑집합 방법을 기반으로 하며, 매 반복마다 선형 시스템 JᵀJ·Δz = -Jᵀr 를 풀어야 한다. 여기서 J는 residual의 Jacobian이며, 연속된 반복 사이에 JᵀJ는 rank‑one 업데이트만을 가진다. 저자들은 이 특성을 이용해 희소 QR 분해를 재귀적으로 업데이트하는 기법을 설계한다. 구체적으로, Gram‑Schmidt 기반의 희소 QR 업데이트를 제안하여, 기존에 저장된 QR 요인과 새로운 rank‑one 변화를 결합해 전체 분해를 다시 수행하지 않고도 새로운 QR 요인을 얻는다. 이는 특히 작은 규모(수십~수백 변수) 임베디드 문제에서 연산량을 크게 절감하면서도 수치적 안정성을 유지한다. 이론적 분석에서는 penalty 파라미터 ρ가 충분히 크게 선택될 경우, 단일 penalty iteration만으로도 원래 제약을 거의 정확히 만족하는 해를 얻을 수 있음을 증명한다(기존 연구