데이터 기반 Koopman 고유함수와 불변 부분공간 탐색을 위한 대칭 부분공간 분해

본 논문은 비선형 동역학 시스템을 선형 연산자인 Koopman 연산자를 통해 분석하고, 데이터 기반으로 그 고유함수와 불변 부분공간을 식별하는 새로운 방법론을 제시한다. 먼저, Koopman 연산자는 상태 공간의 관측함수들을 시간에 따라 전진시키는 무한 차원 선형 연산자이며, 그 고유함수는 λ라는 고유값에 따라 단순히 스칼라 배가 되는 특성을 가진다. 이러한 고유함수들의 선형 결합은 시스템의 장기 행동을 정확히 기술할 수 있지만, 무한 차원성 때문에 직접적인 계산이 불가능하다. 이를 해결하기 위해 확장 동적 모드 분해(EDMD)가 사용된다. EDMD는 사전(D)이라 불리는 유한 개의 함수 집합을 정의하고, 데이터 스냅샷 X와 그 다음 상태 Y에 대해 최소제곱 문제를 풀어 사전 위에서 Koopman 연산자의 유한 차원 근사 K* = D(X)† D(Y)를 구한다. 그러나 사전이 Koopman‑불변 부분공간을 완전히 포함하지 않으면 K*는 근사에 그치며, 고유값·고유벡터가 실제 고유함수를 반영하지 못한다. 저자들은 이 문제를 두 단계로 접근한다. 첫 번째 단계에서는 EDMD를 순방향( X→Y )과 역방향( Y→X ) 모두 적용하고, 두 연산자의 고유벡터가 동일한 선형 공간을 형성하는지를 검사한다. 이때, 고유벡터가 동일하면 해당 함수는 데이터에 대해 선형적으로 진화한다는 필요충분 조건을 만족한다. 샘플이 충분히 풍부하고 사전이 완전 순위(full column rank)를 가질 경우, 이 조건은 거의 확실히 실제 Koopman 고유함수와 일치한다는 확률적 보장을 제공한다. 두 번째 단계에서는 이러한 선형 진화 함수를 효율적으로 찾기 위한 대칭 부분공간 분해(SSD) 알고리즘을 제안한다. SSD는 현재 사전의 함수들을 행렬 A = D(X)† D(Y)와 B = D(Y)† D(X)로 표현하고, A와 B가 서로 전치 관계에 있는 대칭성을 이용한다. 구체적으로, 각 반복에서 A와 B의 특잇값 분해를 수행해 작은 특잇값에 해당하는 방향을 제거하고, 남은 부분공간을 새로운 사전으로 재정의한다. 이 과정을 수렴할 때까지 반복하면, 최종 사전은 원래 사전 내에서 가능한 최대 Koopman‑불변 부분공간을 정확히 포착한다. 수학적으로는 SSD가 (i) 모든 선형 진화 함수를 포함하고, (ii) 샘플 밀도가 충분하면 거의 확실히 최대 불변 부분공간을 식별한다는 정리를 증명한다. 실시간 데이터 스트리밍 상황을 고려해, 저자들은 스트리밍 SSD(SSSD)를 설계한다. SSSD는 새로운 스냅샷이 들어올 때마다 기존 특잇값 분해 결과를 업데이트하는 방식으로, 전체 데이터 행렬을 재구성하지 않는다. 따라서 메모리 사용량은 사전 크기와 고정된 작은 차원에만 의존하며, 온라인 시스템 식별 및 제어에 적합하다. 이론적으로 SSSD와 오프라인 SSD가 동일한 불변 부분공간을 반환함을 증명한다. 마지막으로, 사전이 충분히 풍부하지 않아 필요한 고유함수를 포함하지 못하는 경우를 위해 근사 SSD(Approximated‑SSD)를 제안한다. 여기서는 사전 외부의 함수들을 선형 결합으로 근사하도록 설계 파라미터 η를 도입한다. η를 조절함으로써 근사 정확도와 계산 복잡도 사이의 트레이드오프를 제어할 수 있다. 실험 결과, 근사 SSD는 원래 사전보다 더 넓은 불변 부분공간을 근사적으로 포착하고, 고유값·고유함수의 추정 정확도를 크게 향상시킨다. 전체 논문은 다음과 같은 흐름으로 전개된다. 1) Koopman 연산자와 EDMD의 기본 개념을 정리하고, 기존 방법의 한계를 지적한다. 2) 전·후방 EDMD 기반의 필요충분 조건을 제시하고, 확률적 수렴성을 분석한다. 3) SSD 알고리즘을 상세히 기술하고, 수렴 및 최적성에 대한 정리를 증명한다. 4) SSSD를 도입해 온라인 적용 가능성을 확보하고, 두 알고리즘의 동등성을 이론적으로 입증한다. 5) 사전이 부족한 경우를 위한 Approximated‑SSD를 설계하고, 설계 파라미터가 근사 정확도에 미치는 영향을 분석한다. 6) 수치 실험을 통해 제안된 방법들의 성능을 검증하고, 기존 DMD·EDMD 기반 방법과 비교한다. 결과적으로, 이 연구는 데이터 기반으로 Koopman 고유함수와 최대 불변 부분공간을 정확히 식별하는 통합 프레임워크를 제공한다. 필요충분 조건을 통한 고유함수 검증, SSD와 SSSD의 효율적인 선형 대수 기반 구현, 그리고 사전 부족 상황을 위한 근사 확장은 모두 실용적인 시스템 식별·제어에 큰 기여를 한다.