선형계획법 기반 차동항력으로 위성군 분산 최적화

본 논문은 저궤도 소형 위성군을 차동항력만을 이용해 원하는 별자리 형태로 효율적으로 분산시키는 최적 제어 방법을 제시한다. 서론에서는 큐브샛의 저비용·고집적 특성으로 대규모 군집 운용이 증가하고 있으나, 추진체 부재로 인해 차동항력과 같은 ‘수동’ 수단에 의존해야 함을 강조한다. 기존의 Planet 사의 ‘bang‑bang’ 고·저 드래그 스위칭 방식은 구현이 간단하지만, 연속적인 면적 제어가 가능해지면 더 정밀하고 효율적인 궤도 재배치가 가능하다는 점을 제시한다. 다음으로 동역학 모델을 전개한다. 기본적인 두 몸 문제 식(1)에 대기항력 항을 추가하고, 항력 가속도 식(2)을 통해 드래그 계수(C_D), 표면적(A), 대기밀도(ρ) 및 상대속도(v_rel)와의 관계를 정의한다. 대기밀도는 Harris‑Priester 모델을 간소화해 사용하고, 대기 회전은 지구 자전과 궤도 경사각(φ)에 따라 조정한다. 시뮬레이션용 근사 모델에서는 궤도를 평면 극좌표(r,θ)로 기술하고, 반원형 궤도 가정 하에 방위각 속도 ω=θ̇를 중심으로 방정식(8)을 도출한다. 여기서 방정식(8b)는 항력에 의한 각속도 감소를 포함한다. 이후 이산시간 모델(9)을 제시하고, 입력 u_i(k)=A_i(k)인 전면 면적을 통해 r와 ω의 변화율을 선형화 계수 S_R, S_Ω(10)로 표현한다. 이 계수는 현재 고도와 각속도에 따라 달라지며, 대기밀도와 상대속도 제곱에 비례한다. 최적화 문제는 다음과 같다. 목표는 최종 시점 T에서 가장 낮은 위성의 반경 r_i(T)를 최대화함으로써 전체 운용 수명을 연장하는 것이며, 이는 식(11)으로 표현된다. 제약조건은 (12) 등간격 각간격 오차 ≤ ε_θ, (15) 각속도 차이 ≤ ε_ω, 그리고 물리적 면적 한계 U_min ≤ u_i(k) ≤ U_max이다. 이때 상태 변수 θ(T), ω(T), r(T)는 입력 U에 비선형적으로 의존하므로 직접 LP로 풀 수 없다. 이를 해결하기 위해 저드래그 상태를 가정한 레퍼런스 궤도(¯r_i, ¯ω_i)를 사전 계산하고, S_R, S_Ω를 이 레퍼런스 궤도에 대해 고정한다. 이렇게 하면 상태 전이식(19)·(20)·(21)은 입력에 대한 선형 관계가 되며, 전체 최종 상태는 행렬 형태(21)·(22)·(23)로 표현된다. 최종적으로 목표함수와 제약조건을 스칼라 변수 t와 결합해 표준 형태의 선형계획법(18)으로 변환한다. 해결된 LP는 매일 현재 상태를 기반으로 축소‑시간 전망제어(MPC) 방식으로 재계산된다. 즉, 남은 기간 T를 점차 감소시키면서 매일 최적 드래그 명령을 산출한다. 시뮬레이션에서는 100여 위성을 동일 고도 원형 궤도에 초기화하고, 71일 동안 최적 명령을 적용해 각 위성 간 각간격 오차를 0.1° 이하로 수렴시켰다. 최저 위성 고도 손실은 최소화되었으며, 기존 bang‑bang 방식보다 연속 제어가 더 효율적임을 확인했다. 논문의 주요 기여는 (1) 차동항력 제어를 선형계획법으로 정형화한 점, (2) 시간‑가변 선형 모델을 이용해 대규모 위성군에도 실시간 적용 가능한 MPC 구조를 제시한 점, (3) 고도 손실과 분산 시간 사이의 트레이드오프를 정량화한 점이다. 한계로는 대기밀도 모델의 단순화, 레퍼런스 궤도 가정에 의한 보수적 해, 그리고 실제 운용에서 통신·관제 지연 등을 고려하지 않은 점이 있다. 향후 연구에서는 고도 변동성을 반영한 확률적 모델, 비선형 MPC, 그리고 다중 목표(예: 전력·통신 제약) 최적화를 포함한 확장된 프레임워크를 탐구할 필요가 있다.