베르의 레귤레이터를 계산하는 새로운 무한급수 공식

본 논문은 “보렐 레귤레이터”라는 고전적인 수론·대수위론 문제에 새로운 계산적 접근법을 제시한다. 보렐 레귤레이터 \(R_{n}(F)\) 는 \(K_{2n+1}(F)\) 의 무한소 부분을 실수 공간 \(\mathbb{R}^{d_{n}}\) 에 격자 형태로 삽입한 뒤, 그 격자의 공업(부피)를 측정한 값이다. 전통적으로는 베일린 레귤레이터와 다중 로그, Bloch 군을 이용해 \(R_{n}(F)\) 를 구했지만, 이 과정은 \(K\)-이론 원소와 실질적인 체 사이의 연결 고리를 명시적으로 찾기 어렵다는 한계가 있었다. ### 1. 연구 동기와 목표 저자들은 특히 \(n=1\) (즉, \(K_{3}\) 와 \(\mathbb{R}^{d_{1}}\) ) 에 초점을 맞추어, cyclotomic 체 \(F=\mathbb{Q}(\omega)\) (여기서 \(\omega\) 는 원시 \(q\) 차 근) 에 대해 보렐 레귤레이터를 직접 계산하고자 한다. 이를 위해 두 가지 핵심 과업을 수행한다. 1) \(K_{3}(F)\) 의 명시적 생성원소 \(z_{u}\) (각 원시 근 \(u\) 에 대응)를 정의하고, 그 Hurewicz 사상 이미지를 \(H_{3}(GL(F))\) 에서 구체적인 체 형태로 만든다. 2) 보렐 클래스 \(b_{1}\) 를 카루비‑함이다 적분을 이용해 무한급수 전개식으로 표현하고, 위에서 만든 체에 적용해 실수값을 얻는다. ### 2. \(K_{3}(F)\) 원소의 구성 먼저 Laurent 다항식 환 \(A=\mathbb{Z}