계층화 다양체에서의 아티아흐‑보트 지수와 위상학적 공식

본 논문은 스트래티파이드(계층화) 다양체 위에 정의된 의사미분 연산자의 새로운 위상학적 불변량, 즉 아티아흐‑보트 지수를 체계적으로 구축하고, 이를 기존의 K‑이론·K‑동질론 구조와 연결한다. 서론에서는 스트래티파이드 다양체의 정의와 그 위에 정의되는 연산자 기호의 다층 구조를 소개한다. 각 층 M_j\M_{j+1} 은 블로우업된 코너가 있는 매니폴드 M_j와 동형이며, 점 근처는 U_x×K_{Ω_j} 형태의 지역 모델을 갖는다. 이러한 구조는 고차원 층의 내부 기호 σ₀가 스칼라 함수이며, 하위 층들의 기호 σ_j (j≥1)는 연산자값 함수를 제공한다는 점을 강조한다. 연산자 대수 Ψ(M) 은 차수 0의 의사미분 연산자를 포함하고, 그 코시 알제브라 Σ(M)=Ψ(M)/K 로서 기호 공간을 형성한다. 내부 기호 사상 σ₀:Ψ(M)→C(S^*M) 은 전사이며, 그 핵 J는 내부 기호가 0인 연산자들의 이상이다. 짧은 정확한 열 0→J→Ψ(M)→C(S^*M)→0 로부터 유도된 K‑이론 경계 사상 δ:K₁(C(S^*M))→K₀(J) 를 아티아흐‑보트 지수라 명명한다. 평범한 매끄러운 폐다양체에서는 J가 콤팩트 연산자 이상 K와 동일하고, δ는 전통적인 Fredholm 지수와 일치한다는 사실을 확인한다. 정리 2.1은 “σ₀가 가역인 행렬 연산자 A에 대해, δ