호치쉴드와 순환 (공)동조에 대한 자코비 자르스키 장Exact 시퀀스

본 논문은 두 개의 주요 목표를 가지고 전개된다. 첫 번째 목표는 B⊂A인 단위 연관 대수 포함에 대해, A/B가 B‑양측 평탄(r‑flat)인 경우, 호치쉴드 호몰로지와 순환(공)동조에 대한 장Exact 시퀀스를 자코비‑자르스키 형태로 구축하는 것이다. 이를 위해 저자는 먼저 (A,B)‑모노모르피즘·에피모르피즘, (A,B)‑프로젝티브·플랫·인젝티브 개념을 정의하고, 바 복합체 CB\*(A)와 그 상대 버전 CB\*(A|B)를 소개한다. H‑unital 이데알 I에 대해 Proposition 2.1을 증명함으로써, I를 제거한 후에도 Tor와 Ext가 변하지 않음을 보인다. 이는 이후 스펙트럴 시퀀스 전개에 필수적인 토대가 된다. 두 번째 단계에서는 r‑flat 가정 하에 필터링된 바 복합체 Lₚ를 정의하고, 이에 대한 스펙트럴 시퀀스를 전개한다. E₁ 페이지는 p‑축에 Torᵇ(B)와 q‑축에 Torᵇ(A|B)만이 남으며, 차수 1 이하에서는 별도의 처리가 필요하다. 이 분석을 통해 Theorem 2.3이 도출되는데, 이는 … → Tor_{p+1}^{A|B}(X,Y) → Tor_{p}^{B}(X,Y) → Tor_{p}^{A}(X,Y) → Tor_{p}^{A|B}(X,Y) → … 와 같은 장Exact 시퀀스를 제공한다. 여기서 X와 Y는 각각 오른쪽·왼쪽 A‑모듈이며, p>1에서만 정확히 성립한다는 점을 명시한다. 다음으로 호치쉴드 복합체 CH\*(A,M)를 상대 버전 CH\*(A|B,M)와 함께 다루며, H‑unital 핵 I에 대해 ΣCH\*(I)와의 관계를 살핀다. Theorem 4.3은 임의의 r‑flat 사상 ϕ:B→A에 대해, ΣCH\*^{>1}(I) → CH\*^{>1}(A,B) → CH\*^{>1}(A|B) 라는 동형 코피버 삼각형을 구성하고, 이를 장Exact 시퀀스로 전개한다. 여기서 CH\*^{>1}는 차수 1 이하를 절단한 복합체이며, 이는 p>1 제한과 일치한다. 이 결과는 와지키 excision 시퀀스(에피모르피즘 경우)와 자코비‑자르스키 시퀀스(모노모르피즘 경우)를 하나의 통합된 시퀀스로 묶어준다. 논문은 또한 여러 구체적 예시를 제시한다. 다항식 대수 B