주파수 응답 함수와 벡터 피팅을 이용한 분산 곡선 추정

본 논문은 구조물 내부에서 파동이 전파되는 특성을 기술하는 분산 곡선을 얻기 위한 새로운 데이터‑드리븐 접근법을 제안한다. 기존의 분석·수치·실험 기법은 정확한 재료·기하학적 파라미터가 필요하거나, 파동이 경계에서 반사되고 비균질성으로 인해 저주파 영역에서 측정이 어려운 단점이 있다. 저자들은 이러한 제약을 극복하기 위해 정상 상태에서 쉽게 측정 가능한 주파수 응답 함수(FRF)를 이용해 구조물의 저차 차원 상태공간 모델을 식별하고, 이 모델을 통해 전이 응답을 시뮬레이션함으로써 파수‑주파수 관계를 복원하는 방법을 고안하였다. 1. **수학적 모델 및 스펙트럴 엘리먼트 해석** - 길이가 48 in, 단면 1 × 1/8 in²인 알루미늄 빔을 대상으로, 로드와 굽힘을 각각 독립적으로 유도할 수 있는 두 쌍의 피에조 액추에이터(또는 등가 힘)를 배치한다. - 기본적인 로드 이론과 티모셴코 빔 이론을 결합한 연속체 방정식을 도출하고, 이를 주파수 영역으로 변환한 뒤 스펙트럴 엘리먼트 방법(SEM)으로 해석한다. - SEM은 고차 다항식 형태의 형태함수를 사용해 높은 정확도를 제공하며, 특히 고주파 응답을 정확히 계산할 수 있다. - 이 과정에서 각 주파수에 대해 파수(k)와 그룹 속도(Vg)를 구하고, 이를 ‘정확한’ 분산 곡선으로 활용한다. 2. **FRF 생성 및 데이터 설정** - 0 ~ 50 kHz 구간을 0.25 Hz 간격으로 샘플링해 23개의 FRF(드라이빙 포인트 1개와 전이 포인트 22개)를 계산한다. - 축방향(첫 번째 대칭)과 굽힘(첫 번째 반대칭) 두 모드에 대해 각각 별도 FRF 집합을 만든다. - 경계 조건으로는 자유‑자유, 고정‑고정, 클램프‑클램프 등을 고려해 모델의 일반성을 검증한다. 3. **벡터 피팅을 이용한 데이터‑드리븐 모델링** - 주어진 FRF 샘플 {H(jωi)}에 대해 최소제곱(LS) 기준으로 차수 r의 유리함수 eH(s)=n(s)/d(s)를 찾는다. - 초기에는 분모를 1로 두고 Sanathanan‑Koerner(SK) 반복을 수행해 선형 LS 문제를 풀어가며 분자·분모 계수를 갱신한다. - VF 알고리즘은 SK 반복 위에 폴을 베타 형태(바리센트릭)로 파라미터화해, 폴 위치를 반복적으로 최적화한다. 이 과정은 비선형 LS 문제를 선형 문제로 변환하면서도 빠른 수렴을 보장한다. - 최종적으로 얻어진 상태공간 모델은 eH(s)=eC(sI−eA)⁻¹eB 형태이며, 차수 r은 모델 차원을 의미한다. 4. **전이 응답 시뮬레이션 및 분산 곡선 복원** - 식별된 모델에 충격 혹은 임의 초기 변위를 입력해 전이 응답을 시뮬레이션한다. - 전이 응답을 시간‑주파수 변환해 파수‑주파수 스펙트럼을 얻고, 파수와 주파수 사이의 관계를 추정한다. - 파수와 주파수의 미분을 통해 그룹 속도 Vg를 계산하고, 이를 기존 SEM 기반 정확한 분산 곡선과 비교한다. 5. **결과 및 경계 조건 영향** - 자유‑자유 경계에서는 반사 파가 거의 없으며, VF 모델이 원래 SEM 결과와 거의 일치하는 분산 곡선을 제공한다. - 고정‑고정 및 클램프‑클램프 경계에서는 모드 혼합과 고유 진동이 발생해 일부 주파수 대역에서 오차가 증가하지만, 전반적인 형태와 그룹 속도는 여전히 정확하게 재현된다. - 특히 저주파 영역에서 전통적인 타임‑도메인 측정이 어려운 경우에도, FRF 기반 모델링은 충분한 신호‑대‑노이즈 비율을 확보해 신뢰할 수 있는 추정치를 제공한다. 6. **의의와 향후 연구** - 본 방법은 실험적으로 FRF만을 측정하면 되므로, 고속 샘플링이 필요 없는 장점이 있다. 또한, FRF는 평균화된 응답이므로 잡음에 강하고, 복잡한 경계 조건이나 비균질 재료에도 적용 가능성이 높다. - 현재는 1차원 균일 빔에 대해 검증했으며, 향후에는 다층판, 복합재, 주기적 구조물 등 2차원·3차원 파동 전파 문제로 확장할 계획이다. 또한, 다입·다출 시스템에 대한 다변량 VF 구현과 실험 데이터 적용을 통해 구조 건강 모니터링 및 메타‑구조 설계에 직접 활용할 수 있을 것으로 기대한다.