양자 어닐링을 활용한 모델 예측 제어 기법

본 논문은 입력이 미리 정의된 유한 집합 U 에 제한되는 선형 이산 시스템에 대해 모델 예측 제어(MPC)를 수행하기 위한 새로운 알고리즘을 제시한다. 기존 MPC는 미래 상태를 예측하고 비용 함수를 최소화하는 입력 시퀀스를 매 시간 단계마다 계산해야 하는데, 입력이 유한하고 조합적 특성을 가지면 문제는 NP‑hard 수준의 복합 최적화가 된다. 따라서 전통적인 디지털 컴퓨터로는 실시간 해결이 어려워 왔다. 저자들은 이러한 문제를 양자 어닐링이 해결 가능한 형태인 QUBO(Quadratic Unconstrained Binary Optimization) 문제로 변환하는 방법을 고안한다. 시스템 식 (1)에서 상태 x(t), 입력 u(t), 외란 a(t) 등을 정의하고, 예측 지평선 N 동안의 입력 시퀀스를 최적화 변수로 삼는다. 입력 집합 U 의 원소 수 M 을 2^L 형태로 맞추어 L 비트를 할당하면, 전체 시퀀스는 L·N 개의 이진 변수 b(t) 로 표현된다. 비용 함수 H (3)은 상태와 입력에 대한 2차 형태이므로, 이를 전개하면 이진 변수에 대한 이차식 bᵀJb + hᵀb + c₀ 이 된다. 여기서 J, h, c₀ 는 시스템 행렬 A, B₁, B₂, C, D 와 가중 행렬 Q, R 에 의해 정확히 계산된다. 변환된 QUBO는 D‑Wave 2000Q 양자 어닐러에 입력될 수 있다. 저자들은 D‑Wave Ocean SDK와 Solver API를 이용해 J, h 를 Chimera 혹은 Pegasus 토폴로지에 매핑하고, 최소 에너지 상태를 샘플링한다. 양자 어닐링은 물리적 양자 터널링과 열화 과정을 통해 전역 최적해에 가까운 해를 빠르게 찾는다. 실험은 두 가지 시나리오로 구성된다. 첫 번째는 불안정한 스프링‑매스‑댐퍼 시스템(식 6‑8)이다. 시스템 매개변수를 이산화하고, 입력 집합 U={-60,-45,…,45} 와 예측 지평선 N=6 을 사용한다. 결과는 양자 어닐링이 시뮬레이드 어닐링보다 비용 Ĥ 을 약 25 % 낮추고, 상태 수렴 속도도 빠르며, 비용 분산이 작아 전역 최적해에 더 가깝다는 것을 보여준다. 시간 측면에서는 양자 어닐링 자체 연산이 0.8 s 이하로 매우 짧지만, 원격 서버와의 HTTPS 통신이 전체 96.8 s 중 99 %를 차지한다. 통신 지연을 제외하면 0.01 s 이하의 실시간 제어가 가능함을 시사한다. 두 번째 실험은 인간 청각 특성을 반영한 동적 오디오 양자화이다. 인식 필터 P(z) (식 22)를 상태‑공간 형태로 변환하고, 입력 집합 U={-1.0,-0.5,0,0.5}, N=10 을 적용한다. 비용 함수 H 은 필터를 통과한 양자화 오차의 제곱합이다. 양자 어닐링은 평균 비용을 19 % 감소시키고, 분산도 시뮬레이드 어닐링보다 작았다. 정확 해와 비교했을 때는 약 2.1 배의 비용 차이가 있었지만, 이는 입력 집합이 제한적이기 때문에 허용 가능한 수준으로 해석된다. 표 1·2는 각각의 방법에 대한 실행 시간을 정량화한다. 전수 탐색은 수백 초가 소요되는 반면, 시뮬레이드 어닐링은 수십 밀리초, 양자 어닐링은 통신 제외 시 0.8 s 이하로 빠르다. 논문은 다음과 같은 기여를 강조한다. (1) MPC를 QUBO로 변환하는 일반적인 수학적 프레임워크, (2) 변환된 문제를 실제 D‑Wave 2000Q에 적용해 실험적으로 검증, (3) 제한된 입력 집합을 갖는 제어 문제에서 양자 어닐링이 기존 근사법보다 비용과 분산 면에서 우수함을 입증. 한계점으로는 현재 양자 어닐러가 지원하는 변수 수와 연결성 제한, 그리고 원격 서버와의 통신 지연이 있다. 향후 연구 방향은 온프레미스 양자 어닐러 구축, 문제 매핑 최적화, 하이브리드 양자‑클래식 알고리즘 도입을 통해 실시간 제어에 적합한 시스템을 구현하는 것이다.