텐서 기반 가우시안 프로세스로 하이퍼탄성 재료 모델링

본 논문은 하이퍼탄성 재료의 응력‑스트레인 관계를 물리적 제약을 직접 모델에 삽입한 Gaussian Process Regression(GPR)으로 구현하는 세 가지 방법을 제시한다. 1. **직접 GPR 접근** 가장 기본적인 방법으로, Finger 텐서 B(3×3 대칭)의 6개 독립 성분을 입력으로, Cauchy 응력 텐서 σ의 6개 독립 성분을 출력으로 하는 다변량 GPR을 구축한다. 이 방식은 구현이 간단하지만, 회전 변환 R에 대해 입력이 달라짐에도 불구하고 출력이 동일해야 하는 물리적 회전 불변성을 자동으로 만족하지 못한다. 결과적으로 동일한 물리적 상태가 서로 다른 좌표계에서 서로 다른 학습 샘플로 취급되어 데이터 효율이 낮고, 회전된 테스트 데이터에서 큰 오차가 발생한다. 2. **Tensor Basis Gaussian Process(TBGP)** 회전 불변성을 정확히 보장하기 위해 텐서 기반 전개를 도입한다. 대칭 3×3 텐서 B는 Cayley‑Hamilton 정리를 이용해 B³를 I₁B², I₂B, I₃I 로 표현할 수 있다. 따라서 σ는 무한 급수 전개 대신 세 개의 텐서 기저 I, B, B²와 그 계수 c₁, c₂, c₃ 로 축소된다: σ = c₁ I + c₂ B + c₃ B². 여기서 c_i 는 불변량 I₁=tr(B), I₂=½(tr(B)²−tr(B²)), I₃=det(B)의 함수이다. 회전 R을 적용하면 B′=RBRᵀ, σ′=RσRᵀ 가 동일한 형태를 유지하므로, c_i 는 회전에 영향을 받지 않는다. 구현 단계는 다음과 같다. (i) 훈련 데이터 (B,σ) 를 고유벡터 행렬 Q 로 동시에 대각화한다(가정: B와 σ는 같은 Q 를 공유). (ii) 각 샘플에 대해 λσ =