제약과 불확실성 정량화를 결합한 학습형 파동 영상 복원

본 논문은 파동 기반 최소제곱 영상 복원 문제, 특히 지진 영상 복원에서 발생하는 고차원 선형 시스템의 비정규성, 잡음 및 선형화 오차 등 복합적인 어려움을 해결하기 위해 새로운 학습 프레임워크를 제시한다. 전통적인 접근법은 손수 만든 제약 집합 C를 도입해 최적화 문제를 제한했지만, 전체 데이터셋을 한 번에 사용하기 어려워 배치 기반 확률적 최적화가 필요했고, 비선형 제약으로 인한 수렴 속도 저하와 손수 만든 프라이어가 자연 이미지의 복잡성을 충분히 포착하지 못한다는 한계가 있었다. 저자들은 이러한 문제를 딥 컨볼루션 신경망(CNN)을 “약한” 프라이어로 도입하고, 기존의 “강한” 제약 C와 결합하는 하이브리드 모델을 설계한다. 구체적으로, 원래의 이미지 변수 x를 슬랙 변수로 두고, x∈C를 강제한다. 동시에, 딥 네트워크 g(z,w)와 x 사이의 L2 차이를 λ로 가중한 페널티를 추가한다. 이때 z는 표준 정규분포를 따르는 잠재 벡터이며, w는 네트워크 가중치이다. 최적화 목표는  min_{x∈C, w} ½‖y−Ax‖² + (λ/2)‖x−g(z,w)‖² 이다. 수학적 기반은 기대-최대화(EM) 알고리즘이다. 전체 N개의 소스 실험 y_k를 각각 독립적인 배치로 간주하고, 각 배치에 대해 Bregman 반복을 수행해 슬랙 변수 x_k를 얻는다. Bregman 반복은  \tilde{x} ← \tilde{x} − t_k A_k^T (A_k x − y_k)  x ← P_C(\tilde{x}) 형태로, 동적 스텝사이즈 t_k와 투영 연산 P_C를 이용해 물리적 제약을 유지하면서 데이터 적합성을 향상시킨다. 그 다음, 현재 네트워크 파라미터 w를 고정한 상태에서 각 배치에 대한 잠재 변수 z_k를 Stochastic Gradient Langevin Dynamics(SGLD)로 샘플링한다. SGLD 업데이트는  z ← z − (ε/2)∇_z