행렬 리군드 그룹을 위한 안정적 임베딩 기반 모델 예측 트래킹 제어

본 논문은 매트릭스 리군드 그룹(예: SO(3), SE(3) 등) 위에 정의된 비선형 제어 시스템에 대해, 전역적인 유클리드 좌표계를 이용해 모델 예측 제어(MPC)를 설계하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 전통적인 방법은 차트 전환이나 복잡한 미분기하학적 도구에 의존하지만, 저자들은 “안정적 임베딩(stable embedding)”이라는 기법을 도입해 이러한 문제를 회피한다. 1. **시스템 모델 및 가정** - 시스템은 왼쪽 불변 벡터 필드 형태 \(\dot g = g\xi,\ \dot\xi = f(\xi,u)\) 로 표현된다. 여기서 \(g\in G\subset\mathbb{R}^{n\times n}\) 는 매트릭스 리군드 그룹, \(\xi\in\mathfrak g\) 는 리 대수, \(u\in\mathbb{R}^m\) 은 입력이다. - \(\partial f/\partial u\) 가 전역적으로 가역적이라는 가정과, 목표 궤적 \(g_0(t)\) 가 일정한 고유값 범위 \(\beta_{g_{\min}}I\preceq g_0(t)g_0(t)^\top\preceq\beta_{g_{\max}}I\) 를 만족한다는 전제(Assumption 2)를 둔다. 2. **안정적 임베딩** - 잠재 함수 \(V:\mathbb{R}^{n\times n}\to\mathbb{R}_{\ge0}\) 를 구성한다. \(V\) 는 \(G\) 위에서 최소값 0을 갖고, 전이 방향 \(\mathfrak g^\perp\)에 대해 양의 이차형식 \(\nabla^2 V(I)\)를 제공한다. - 원래 시스템을 \(\tilde\Sigma:\ \dot x = x\xi - \alpha\nabla V(x),\ \dot\xi = f(\xi,u)\) 로 확장한다. 여기서 \(\alpha>0\) 는 임베딩 강도 파라미터이며, \(x\in\mathbb{R}^{n\times n}\) 는 \(G\) 를 포함하는 전역 좌표이다. 이 확장 시스템은 \(G\) 를 불변적인 끌어당김 집합으로 만든다. 3. **오차 동역학 및 선형화** - 목표 궤적 \((g_0(t),\xi_0(t),u_0(t))\)에 대한 추적 오차 \((E,\Xi)\)를 정의하고, 오차 동역학 \(\delta\Sigma\)를 도출한다. - 오차를 \(\mathfrak g\)와 \(\mathfrak g^\perp\)로 분해하면, 횡단 방향은 순수 선형 감쇠 \(\dot E^\perp = -\alpha\nabla^2 V(I)E^\perp\) 로, 병렬 방향은 \(\dot E_{\parallel}=g_0\Xi g_0^{-1} - \alpha\nabla^2 V(I)E^\perp\) 로 표현된다. - 위 식을 기반으로 Lyapunov 함수 \(V(E^\perp)=\frac12\langle\nabla^2 V(I)E^\perp,E^\perp\rangle\)를 정의해, 정리 1에서 횡단 오차가 지수적으로 수렴함을 증명한다. 4. **PD‑형 피드백 설계** - 병렬‑횡단 결합 시스템을 안정화하기 위해 \(\delta u = (\partial f/\partial u)^{-1}