모델프리 프라임듀얼 알고리즘을 이용한 실시간 전력 흐름 최적화

본 논문은 네트워크 기반 시스템, 특히 전력 배전망에서 실시간 최적화를 수행할 때 시스템 모델을 사전에 알 수 없거나 급격히 변하는 상황을 해결하고자 한다. 문제 설정은 시간‑변화 목적함수 fₖ⁰(y)와 개별 시스템 목적 fₖⁱ(xᵢ) 및 제약 gₖʲ(y) 를 포함하는 동적 최적화 문제(7)로, 입력 x∈ℝⁿ, 출력 y∈ℝᵐ 사이의 관계는 일반적으로 선형식 yₖ=Cxₖ+Dwₖ (8)로 표현된다. 전통적인 프라임‑듀얼 투사‑그라디언트 알고리즘(12)은 Jacobian Jₖ를 필요로 하여 모델이 없으면 적용이 불가능하다. 이를 극복하기 위해 저자는 제로오더(gradient‑free) 접근법을 도입한다. 핵심 아이디어는 Kiefer‑Wolfeowitz와 SPSA에서 영감을 받은 두 점 차분 근사식(6, 14)이다. 입력 xₖ에 작은 탐색 벡터 ξₖ와 스칼라 δ를 곱해 xₖ⁺=xₖ+δξₖ, xₖ⁻=xₖ−δξₖ 를 만든 뒤, 각각의 시스템 출력을 yₖ⁺, yₖ⁻ 측정한다. 목적함수와 제약함수에 대해 차분을 적용하면 기울기 추정량 ∇̂Lₖ 가 얻어지고, 이를 프라임‑듀얼 업데이트에 바로 사용할 수 있다. 구체적인 알고리즘 흐름은 다음과 같다. 1. **탐색 단계**: xₖ⁺, xₖ⁻ 두 입력을 시스템에 적용하고 출력 yₖ⁺, yₖ⁻ 를 측정한다. 2. **제어 적용**: 실제 제어 입력 xₖ 를 시스템에 적용하고 출력 yₖ 를 측정한다(또는 yₖ⁺, yₖ⁻ 의 평균을 사용한다). 3. **프라임‑듀얼 업데이트**: 차분을 이용해 근사 기울기 ∇̂Lₖ (식 17)를 계산하고, 투사‑그라디언트 식(18)으로 xₖ₊₁을, 식(19)으로 λₖ₊₁을 갱신한다. 탐색 벡터 ξₖ는 서로 다른 주파수를 갖는 사인파 ξᵢ(t)=√2 sin(ωᵢt) 로 구성되며, 이는 시간에 따라 변하면서 ξₖξₖᵀ 의 평균이 양정정 행렬이 되도록 보장한다. 이 deterministic 탐색은 stochastic ξ 에 비해 분산이 낮아 수렴 속도가 향상된다. 수렴 분석에서는 다음 가정을 두었다. (i) 목적·제약 함수는 3차 연속이며 Lipschitz 연속인 1차·2차 미분을 가진다. (ii) 측정 오차는 유한한 상수 e_y 로 제한된다. (iii) 시간‑변화에 대한 연속성(Assumption 4)으로 함수의 변화율이 제한된다. 이러한 가정 하에, 고정 스텝 사이즈 α 와 적절한 정규화 파라미터 p, d 를 선택하면 알고리즘은 최적 궤적 zₖ* 주변의 유한 반경(오차 바운드) 내에 수렴한다. 특히, 선형 모델(8)에서는 강한 수렴성을 보이며, 비선형 모델에 대한 확장은 현재 진행 중인 연구로 명시된다. 논문의 실험 부분에서는 IEEE 37‑node 배전망을 사용해 실시간 OPF 문제를 설정한다. 목표는 변동 부하와 재생에너지 주입에 따라 전압을