고차원 데이터 탐색을 위한 함수 보존 투영

본 논문은 고차원 데이터 분석에서 흔히 마주치는 두 가지 난관, 즉(1) 비선형 관계를 포착하면서도(2) 결과를 인간이 직관적으로 이해할 수 있는 형태로 시각화하는 문제를 해결하고자 한다. 기존 차원 축소 기법(PCA, t‑SNE, UMAP 등)은 데이터 포인트 간의 전역·국부 구조를 보존하려는 목표를 가지고 있지만, 사용자가 실제로 관심을 갖는 응답 함수와의 연관성을 직접적으로 강조하지 못한다. 이러한 한계를 극복하기 위해 저자들은 Function Preserving Projection(FPP)이라는 새로운 방법론을 제안한다. FPP의 핵심은 두 단계로 구성된다. 첫 번째 단계는 고차원 입력 X∈ℝ^{D×N}을 2차원 공간 Y∈ℝ^{2×N}으로 투영하는 선형 행렬 P∈ℝ^{D×2}를 학습하는 것이다. 여기서 P 는 직교성을 유지하도록 Stiefel 다양체 위에서 SVD 기반 정규화를 거치며, 이는 투영이 선형이면서도 해석 가능한 축(label)을 보존한다는 의미다. 두 번째 단계는 투영된 좌표 y_i 에 대해 비선형 매핑 g(y_i;θ) 를 적용해 사용자 정의 응답 함수 f_i 를 예측한다. 비선형 매핑은 다항 회귀, 신경망, 혹은 소프트맥스 분류기 등 차별화 가능한 형태를 선택할 수 있으며, 다항 차수를 조절함으로써 시각적 복잡도를 직접 제어한다. 학습 목표는 전체 손실 L = Σ_i S